基于FFT的信号分析和测量基础

1. 基本信号分析计算

分析信号的基本计算包括：将双边功率谱转换为单边功率谱、调整频率精度并绘制频谱、使用FFT，以及将功率和振幅转换为对数单位。

功率谱返回一个数组，包含时域信号的双边功率谱。该数组的值与组成时域信号的每个频率分量的幅值平方成正比。双边功率谱的一条曲线显示正负极频率分量的高度为

其中Ak代表正弦分量在频率k处的峰值振幅。DC分量的高度为A02，其中A0代表信号中DC分量的振幅。

图1显示了时域信号的功率谱，包含一个128 Hz的3 Vrms正弦波、一个256 Hz的3 Vrms正弦波和一个2 VDC的DC分量。3 Vrms正弦波的峰值电压为3.0，约等于4.2426 V。通过基本FFT函数计算得出功率谱。关于该方程的实例，请参考本应用笔记的使用FFT计算章节。

图1.信号的双边功率谱

关于功率谱的最新信息，请参考LabVIEW帮助（见文末链接）的功率谱章节。

将双边功率谱转换为单边功率谱

大多数真实世界的频率分析仪器只显示频率谱的正极，因为真实世界的信号是以DC为中心对称的。因此无需再显示负极的频率信息。图1显示了分析函数的双边结果，先是图谱的正极，然后是负极。

在双边频谱中，一半的能量显示在正频率，另一半能量显示在负频率。因此，若需将双边频谱转换为单边频谱，只要舍弃数组的第二部分，并将除DC外的每个点乘以2。

其中SAA(i)代表双边功率谱，GAA(i)代表单边功率谱，N代表双边功率谱的长度。双边功率谱SAA

单边功率谱的非DC值的高度为

等于

其中

为正弦分量在频率k处的均方根(rms)。因此，功率谱的单位通常被称为数量平方均方根，其中数量是时域信号的单位。例如，电压波形的单边功率谱单位为伏特均方根的平方。

图2显示信号的单边功率谱，其双边功率谱见图1。

图2.图1中信号的单边功率谱

可见，非DC频率分量的高度是图1中的两倍，而频率谱的频率只有图1中的一半。

关于功率谱的最新信息，请参考LabVIEW帮助（见文末链接）的功率谱章节。

调整频率精度并绘制图谱

图1和图2显示了时域信号的功率和频率。频谱曲线x轴的频率范围和精度取决于采样率以及采集到的点的数量。图2中，频率点或线的数量等于

其中N为所采集时域信号中点的数量。第一条频率线位于0 Hz，即DC。最后一条频率线位于

其中Fs是采样时域信号时的频率。频率线出现的间隔为f，其中

也可将频率线称为频率仓或FFT仓，因为您可将FFT看做一系列带宽为f的并行滤波器，以各频率为中心，增幅如下：

f的另一种计算方法是：

其中t为采样周期。因此是包含所采集时域信号的时间记录的长度。图1和图2中的信号包含1,024个在1.024 kHz时采样的点，产生的f = 1 Hz，且频率范围为DC至511 Hz。

频率轴的计算表明，采样频率决定频谱的频率范围或带宽，且对于一个给定的采样频率，在时域信号记录中的采样点的数量决定精度频率。为了提高给定频率范围的频率精度，可增加相同采样频率下采样点的数量。例如，在1.024 kHz下采集2,048个点，将产生f = 0.5 Hz，频率范围为0至511.5 Hz。而如果在10.24 kHz下采集1,024个点，则f = 10 Hz，频率范围为0至5.11 kHz。

使用FFT计算

功率谱将功率显示为每条频率线上的均方振幅，但不包括相位信息。由于功率谱丢失了相位信息，您需要使用FFT查看信号的频率和相位信息。

FFT产生的相位信息是相对于时域信号起始的相位。因此，您必须从信号的同一点进行触发，以获得连续的相位读数。正弦波在正弦波频率上显示一个-90°的相位。余弦波显示0°的相位。很多情况下，您关心的是分量间的相对相位，或两个同时采集的信号间的相位差。您可使用高级FFT函数查看两个信号间的相位差。关于这些函数的详细描述，请查看本应用笔记的基于FFT的网络测量章节。

FFT返回复数形式的双边谱（包含实部和虚部），您必须缩放并转换为极坐标形式以获得幅值和相位。其频率轴与双边功率谱中的相同。FFT的振幅与时域信号中点的数量相关。使用下列公式计算FFT中频率的振幅和相位。

其中，反正切函数返回的相位值在 -至+之间，全量程2弧度。使用反正切至极坐标转换函数，将复数数组

转换为振幅(r)和相位(ø)，与使用之前的公式等价。

双边振幅谱实际上显示了正极和负极频率上一半的峰值振幅。如需转换为单边形式，可将除DC外的每个频率乘以2，并舍弃数组的后半部分。这时，单边振幅谱的单位达到量的峰值，并显示组成时域信号的每个正弦分量的峰值振幅。对于单边相位谱，舍弃数组的后半部分。

若需以伏特（或其他量）rms查看振幅谱，应先将其转换为单边形式，然后将非DC分量除以根号2。由于非DC分量在从双边转装换为单边的过程中乘以了2，您可从双边振幅谱直接计算rms振幅谱，方法是将非DC分量乘以根号2，并舍弃数组的后半部分。下列公式显示了将双边FFT转换为单边振幅谱的完整计算过程。