伟大的不仅仅是傅里叶是个数学公式，别的方面也伟大

中讲的拉普拉斯变换。微分运算的变换，除了以外还有其它项，就是因为所做的是单边的变换，需要考虑初值。

时域分析与频域分析是对信号的两个观察面。时域分析是以时间轴为坐标表示动态信号的关系；频域分析是把信号变为以频率轴为坐标表示出来。一般来说，时域的表示较为形象与直观，频域分析则更为简练，剖析问题更为深刻和方便。目前，信号分析的趋势是从时域向频域发展。然而，它们是互相联系，缺一不可，相辅相成的。贯穿时域与频域的方法之一，就是传中说的傅里叶分析。傅里叶分析可分为傅里叶级数（Fourier Serie）和傅里叶变换(Fourier Transformation)。

鉴于你对积分变换已经心灰意冷，为了让你对积分变换产生一点好感。我们来看一张图：

海绵宝宝的傅里叶变换就是派大星

这个图在讨论滤波器的时候很有用，学习通讯或者电子专业的学生对这个图再熟悉不过了，如果你感兴趣可以联系我交流一下。

之前说了那么多，可能你不相信一个信号可以用正弦信号的线性组合重现，或者说你不相信一个函数可以展开。接下来，我们深入的讨论一下这个问题。

任何信号都可以用正弦信号的线性组合重现

什么是分解呢？分解的意思就像我们用不同的涂料来调色，一个色调可以分解成不同基色调的组合。一束白光可以分解成不同颜色的光的叠加。如果我说我能用前面说的正弦曲线波叠加出一个带90度角的矩形波来，你会相信吗？你不会，就像当年的我一样。但是看看下图：

随着叠加的递增，所有正弦波中上升的部分逐渐让原本缓慢增加的曲线不断变陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高处时继续上升的部分使其变为水平线。一个矩形就这么叠加而成了。但是要多少个正弦波叠加起来才能形成一个标准90度角的矩形波呢？不幸的告诉大家，答案是无穷多个。用线性代数的角度来说明这个问题，就是基的数量要足够，数学一点的用语是完备性。如果你接触过小波变换，你就更能体会到这点。

不仅仅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波叠加起来的。这是没有接触过傅里叶分析的人在直觉上的第一个难点，但是一旦接受了这样的设定，游戏就开始有意思起来了。

（2012年1月，四位来自麻省理工学院的研究人员提出了一种更快执行傅里叶变换的新算法。这四位研究者(从左至右)分别是Piotr Indyk、Dina Katabi、Eric Price、Haitham Hassanieh。傅里叶变换是数字医学成像、Wi-Fi路由器和4G无线通信网络等众多技术的运算基础。）

经过上面各种图形的狂轰滥炸，相信你对于傅里叶级数是展开(分解)的概念已经在你的脑海中留下一些痕迹了吧。前面的叠加过程我们发现随着频率越来越高，幅值却越来越小。这是为什么呢？很多书上只是给出数学上的解释。下面，给出一个几何上的解释：

对于一个函数，将其分解成傅里叶级数的时候，对于高频分量，可以看出函数近似成一条直线。于是，积分求和就变成很小的值了。这也是为什么工程中只取前几阶信号而不考虑无穷项的原因。

前面花了大量的时间来说明一个方波信号可以由正弦信号组成，也就是一个时域信号可以用频域信号表示。如果你接受了这件事，就好办了，我们将他推广：

"任意连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成"

这就是傅里叶当年的结论。

尽管最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类，这一想法跟化学上的原子论想法何其相似！

本节的核心就是一种信号可以用另一种信号作为基函数线性表示。而由于现实世界中正弦信号是系统的特征向量，所以我们就用傅里叶变换，将研究的信号在频域展开。总而言之，不管是傅里叶级数，还是傅里叶变换、拉普拉斯变换、z变换，本质上都是线性代数里面讲的求特征值和特征向量。然后将一个复杂问题用特征值和特征向量表示。以后如果有人问你为什么要进行傅里叶变换，你就可以半炫耀半学术的告诉他：

"因为复指数信号是线性时不变系统的特征向量，因此傅里叶变换就是进行特征分解"

当然还有其他展开，比如小波，道理是一样的。如果感兴趣，强烈推荐《小波与傅里叶分析基础》这本书。

其实写到这里本来就可以了。但是数学家觉得，这种向特征基函数投影的思想太奇妙了，于是就将其发展延伸，构造出了其他形式的积分变换。下面就从数学的角度解释一下积分变换的意