伟大的不仅仅是傅里叶是个数学公式，别的方面也伟大

为了传递信号，产生交流，我们需要以"波"作为信号的载体。最简单的波，就以一定频率传播。蝙蝠发出了超声波，人们说话，声带振动带动了空气疏密波（声波），卫星识别电磁波。这样，我们就有了频率的概念。更进一步，除了手机GHz的波这些经典电磁波，在量子世界里，原子的跃迁也是以一定的频率发生的。我们甚至可以说，自然选择了以这些单频的模式为基矗对于一个信号来说，信号强度随时间的变化规律就是时域特性，信号是由哪些单一频率的信号合成的就是频域特性。

为什么时间和频率描述世界是等价的

这里引入了时域频域的概念。我们就有必要解释一下为什么时间和频率来描述这个世界是等价的？

什么是时域？从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。

什么是频域？频域(frequency domain)是描述信号在频率方面特性时用到的一种坐标系。用线性代数的语言就是装着正弦函数的空间。频域最重要的性质是：它不是真实的，而是一个数学构造。频域是一个遵循特定规则的数学范畴。正弦波是频域中唯一存在的波形，这是频域中最重要的规则，即正弦波是对频域的描述，因为时域中的任何波形都可用正弦波合成。

好抽象，不懂。那让我们从一个简单的例子开始吧。在你的理解中，一段音乐是什么呢？

这是我们对音乐最普遍的理解，一个随着时间变化的震动。但我相信对于乐器小能手们来说，音乐更直观的理解是这样的：

最上面的图是音乐在时域的样子，而下面的图则是音乐在频域的样子。所以频域这一概念对大家都从不陌生，只是从来没意识到而已。

其实，在生活中，我们无时无刻不在进行着傅立叶变换。（什么？我没有听错吧？！）对的，请相信你的耳朵，你完全没有听错。我们来看人类听觉系统的处理过程：

当我们听到一个声音，大脑的实际反应是什么？事实上耳朵感觉到一个时变的空气压力，这种变化也许是一个类似于口哨声的单音。当我们听到一个口哨声时，我们所关心的并不是气压随时间的振动（它非常非常快！），而是声音的三个特征：基音、声强以及音长。基音可以理解为频率的同义词，声强不是别的，它就是幅度。我们的耳朵—大脑系统能有效地将信号表示成三个简单的特征参数：基音、声强以及音长，并不理会气压的快速变化过程（一个重复的变化过程）。这样耳朵—大脑系统就提取了信号的本质信息。

傅立叶变换的分析过程与此类似，只不过我们从数学意义把它更加精确化和专业话罢了。

从数学上理解，频域的概念就是由正弦信号构成的空间。或者说这个空间里装着正弦信号。听起来好抽象，让我们回忆一个例子：我们知道对已一个函数，我们可以将它分解成下面的形式：

分解的方法有很多。

我们这样理解上面的函数分解：是函数空间中的一组基，是在这组基下的坐标。对于泰勒展开，我们选取了多项式作为基，于是由多项式构成的空间就叫多项式空间。对于傅里叶变换，我们只是选取了三角函数作为基，于是由三角函数构成的空间就叫频率空间或者叫频域。以此类推。

用正弦曲线来代替原来的曲线而不用方波或三角波或者其他什么函数来表示的原因在于：正弦信号恰好是很多线性时不变系统的特征向量。于是就有了傅里叶变换。对于更一般的线性时不变系统，复指数信号(表示耗散或衰减)是系统的"特征向量"。于是就有了拉普拉斯变换。z变换也是同样的道理，这时是离散系统的"特征向量"。这里没有区分特征函数和特征向量的概念，主要想表达二者的思想是相同的，只不过一个是有限维向量，一个是无限维函数。

傅里叶级数和傅里叶变换其实就是我们之前讨论的特征值与特征向量的问题。分解信号的方法是无穷的，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。这样，用正余弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线保真度。且只有正弦曲线才拥有这样的性质。

同时，这也解释了为什么我们一碰到信号就想方设法的把它表示成正弦量或者复指数量的形式；解释了为什么方波或者三角波如此"简单"，我们非要展开的如此"麻烦"；解释了为什么对于一个没有什么规律的"非周期"信号，我们都绞尽脑汁的用正弦量展开。就因为正弦量(或复指数)是特征向量。

考虑到实际过程都只关心t>0时刻的现象，所以一般用的拉氏变换都是单边的，也就是教材