傅里叶变换，拉普拉斯变换，泰勒展开及Z变换有什么意义

对傅里叶变换，拉普拉斯变换，泰勒展开及Z变换的作用和含义做了一个详细的解释和说明，傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用。拉普拉斯变是工程数学中常用的一种积分变换。在数学中，泰勒展开可以把一个函数f(x)展开成关于某一点的导数(0次到N次)的函数,这样就可以近似计算一个函数,得到在某点及其附近信息的近似描述。Z 变换和傅里叶变换之间有存在什么样的关系呢？

傅里叶变换

傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里 叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。傅里叶变换的物理意义是：将通常在时域表示的信号，分解为多个正弦信号的叠加。傅里叶变换能将满足 一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶 变换和离散傅里叶变换。傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。理解的关键是：一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从 时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的，不知不觉中，其实是按照时间把 信号进行分割，每一部分只是一个时间点对应一个信号值，一个信号是一组这样的分量的叠加。傅里叶变换后，其实还是个叠加问题，只不过是从频率的角度去叠 加，只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号，但他确有固定的周期，或者说，给了一个周期，我们就能画出一个整个区间上的分信号，那么给定一组 周期值（或频率值），我们就可以画出其对应的曲线，就像给出时域上每一点的信号值一样，不过如果信号是周期的话，频域的更简单，只需要几个甚至一个就可以 了，时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式；逆傅里叶变换恰好相反。这都是一 个信号的不同表示形式。它的公式会用就可以，当然把证明看懂了更好。对一个信号做傅里叶变换，可以得到其频域特性，包括幅度和相位两个方面。幅度是表示这 个频率分量的大小，那么相位呢，它有什么物理意义？频域的相位与时域的相位有关系吗？信号前一段的相位（频域）与后一段的相位的变化是否与信号的频率成正 比关系。傅里叶变换就是把一个信号，分解成无数的正弦波（或者余弦波）信号。也就是说，用无数的正弦波，可以合成任何你所需要的信号。想一想这个问题：给 你很多正弦信号，你怎样才能合成你需要的信号呢？答案是要两个条件，一个是每个正弦波的幅度，另一个就是每个正弦波之间的相位差。所以现在应该明白了吧， 频域上的相位，就是每个正弦波之间的相位。傅里叶变换用于信号的频率域分析，一般我们把电信号描述成时间域的数学模型，而数字信号处理对信号的频率特性更 感兴趣，而通过傅立叶变换很容易得到信号的频率域特性。傅里叶变换简单通俗理解就是把看似杂乱无章的信号考虑成由一定振幅、相位、频率的基本正弦（余弦） 信号组合而成，傅里叶变换的目的就是找出这些基本正弦（余弦）信号中振幅较大（能量较高）信号对应的频率，从而找出杂乱无章的信号中的主要振动频率特点。 如减速机故障时，通过傅里叶变换做频谱分析，根据各级齿轮转速、齿数与杂音频谱中振幅大的对比，可以快速判断哪级齿轮损伤。

拉普拉斯变换

拉普拉斯变是工程数学中常用的一种积分变换。 它是为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变 换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微 分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。引入拉普拉斯变换 的一个主要优点，是可采用传递函数代替微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性（见信号流程图、动态结构 图）、分析控制系统的运动过程（见奈奎斯特稳定判据、根轨迹法），以