基于FPGA的四阶IIR数字滤波器

常用的数字滤波器有FIR数字滤波器和IIR数字滤波器｡FIR数字滤波器具有精确的线性相位特性,在信号处理方面应用极为广泛,而且可以采用事先设计调试好的FIR数字滤波器IPCore来完成设计,例如Altera公司提供的针对Altera系列可编程器件的MegaCore,但是需要向Altera公司购买或申请试用版｡另外,对于相同的设计指标,FIR滤波器所要求的阶数比IIR滤波器高5~10倍,成本较高,而且信号的延迟也较大｡IIR滤波器所要求的阶数不仅比FIR滤波器低,而且可以利用模拟滤波器的设计成果,设计工作量相对较小,采用FPGA实现的IIR滤波器同样具有多种优越性｡  

IIR滤波器主要有巴特沃斯滤波器､切比雪夫滤波器和椭圆滤波器几种｡给出了以上三种滤波器实现同样性能指标所需的阶数及阻带衰减的比较,如表1所示｡  

表1 三种滤波器的性能比较


   
由表1可见,椭圆滤波器给出的设计阶数比前两种低,而且频率特性较好,过渡带较窄,但是椭圆滤波器在通带上的非线性相位响应最明显｡本系统选用椭圆函数滤波器进行设计｡  

1 原理分析  

数字滤波器实际上是一个采用有限精度算法实现的线性非时变离散系统,它的设计步骤为:首先根据实际需要确定其性能指标,再求得系统函数H(z),最后采用有限精度算法实现｡


  
根据需要,本系统的设计指标为:模拟信号采样频率为2MHz,每周期最少采样20点,即模拟信号的通带边缘频率为fp=100kHz,阻带边缘频率fs=1MHz,通带波动Rp不大于0.1dB(通带误差不大于5%),阻带衰减As不小于32dB｡换算为数字域指标为:Wp=0.1π,Ws=0.2π,Rp=0.1dB,As=32dB｡系统函数H(z)的计算采用Matlab软件比较方便,其中有两个现成的函数可以使用:ellipord(wp/pi,ws/pi,Rp,As)函数用来计算数字椭圆滤波器的阶次N和3dB截止频率wn,而ellip(N,Rp,As,wn)函数可以求得直接型椭圆IIR滤波器的各个系数｡通过调用以上两个函数计算得到的系统函数H(z)为:  



  
这是一个四阶IIR系统,Matlab计算出该系统的频率响应如图1所示,可见满足设计要求｡  

如果采用直接型结构实现,需用的乘法器和延迟单元相对较多,而且分子和分母的系数相差较大,需要较多的二进制位数才能实现相应的精度要求｡  

如果采用二阶节级联实现,一来各基本节的零点､极点可以很方便地单独进行调整,二来可以降低对二进制数位数的要求｡给出了一个直接型结构转为级联型结构的dir2cas.m文件,利用该函数求得系统函数的级联表达形式为:  

H(z)=H1(z)×H2(z)=(0.11-0.1041z -1+0.11z -2)/(1-1.58z -1+0.6469z -2)×(0.2464-0.426z -1+0.2464z -2)/(1-1.7753z -1+0.892z -2)  

由上式可以看出,每个二阶节的分子､分母系数差异减少了｡值得注意的是,在分配二阶节的增益时,要保证每个节不会发生运算溢出,可以先用Matlab软件分析计算来合理安排各节的增益｡经过计算,本文采用第一级分配0.11,第二级分配0.2464,可以保证在要求的输入范围,没有数据溢出发生｡  


  
2 系统实现  

将第一个二阶节的系统函数表示为差分方程:  

y1(n)=a0x(n)-a1x(n-1)+a2x(n)+b0y(n-1)-b1y(n-2)   
=0.11x(n)-0.1041x(n-1)+0.11x(n)+1.58y(n-1)
-0.6469y(n-2)  

可以看出,一个二阶节的实现需要五次乘法运算､四次加法运算(采用二进制补码将减法运算变为加法运算)｡两个二阶节共需要十次乘法运算｡虽然现在已有上千万门的FPGA产品可供选用,但是一般应用时全部采用硬件阵列乘法器毕竟不太合适,而如果采用串行乘法器进行分时复用,其工作速度也不太理想｡  

本文采用一个折中的方法实现,即乘加单元(MAC)的乘法器采用阵列乘法器,而不使用串行乘法器,以提高运算速度｡需要注意的是,MAX+plusⅡ的LPM库中乘法运算为无符号数的阵列乘法,所以使用时需要先将两个补码乘数转换为无符号数相乘后,再将乘积转换为补码乘积输出｡每个二阶节完成一次运算共需要6个时钟周期,而且需采用各自独立的MAC实现两级流水线结构,即每个数据经过两个二阶节输出只需要6个时钟周期｡

2.1 系统原理框图  

系统原理框图如图2所示,模拟信号经过TLC5510转换为00H~FFH的二进制数后,送入四阶IIR低通滤波器,处理后输出10位二进制数送AD7520得到双极性的模拟电压输出｡