精通信号处理设计小Tips（2）：数学的作用

　　本文作者maxfiner，毕业于西安电子科技大学，拥有信号与信息处理专业硕士学位。maxfiner曾供职于华为通信技术公司 无线通信部门，拥有多年的工程项目研发经验，同时兼备算法理论研究，仿真验证，以及对应的硬件设计实现能力；具备通信物理层开发设计各个方面的实战经 验...
 

　　精通信号处理设计小TIps（2）：数学的作用
　　对于工科专业的工程师来说，数学到底是否有用？有多大用？都干什么用？相信是很多人曾经考虑和关心的问题。结合电子工程方向，对此稍作讨论，跟大伙交流。

　　对于电子工程方向，一般在大学会先后学习这么几门数学课程：微积分，线性代数，概率论，复变函数，随机过程，矩阵论，数值分析等。但对于大多数人来说，参加工作后，大家都会感慨，大部分内容基本都忘光了。为什么呢？原因很简单，因为再也没有用到。对于很多具体的工程领域，这些课程的大部分的确不大用得着。就我个人工作经历来说，工作后，主要从事通信物理层的应用和实现。微积分很少直接应用，除了高等数学老师，还有谁会去关注柯西中值定理呢？复变函数更是多年未曾打过一次交道。这么些课程中，相对来说，用的较多的是两样，一个是傅里叶变换，一个是线性代数。最最频繁使用的，是高中学到的一些知识，比如复数，三角函数，初等函数等等。

　　就像从初中一年级就开始花费大量时间学习英语，至今仍是聋哑英语一样，大学的那么多课程，费了好些时间和力气学习，却没有怎么用得上，想想真是令人惋惜。现在回想起来，如果上大学只为了最终的一张文凭的话，我宁可不上。在现实中，一个单片机实用电路的设计经验，或者熟练的编写一段软件代码，远比泰勒定理的证明更来得实在。

　　照如此说，似乎大学的数学也没有啥用。这个结论先不必急于落下。先谈谈我在工作实践中中碰到的具体数学应用吧。频谱分析需要用到傅里叶变换，这算是大学数学诸多领域中应用最广泛的一个。采样定理的证明和更好的理解，也要用到傅里叶变换。数字上下变频会涉及到三角函数中的积化和差。电路阻抗分析中会用到复数的运算。FPGA实现中会涉及到一些逻辑运算。FIR滤波处理从实现上看就是一个乘累加运算，背后是对各种频谱分量的不同处理。应用广泛的相关累计运算也是乘累加运算。符号同步、频偏估计、信道补偿等处理会涉及到复数形式的乘累加运算。

　　从以上的典型应用来看，相当多的数字信号处理应用都离不开乘累加运算，比如相关、卷积、滤波等等，傅里叶变换的具体实现——离散傅里叶变换，其实现方式也是乘累加。这也是数字信号处理的魅力，一个简单的乘累加运算，解决了各种各样，各种形式的问题。一个成累加运算之所以能够发挥如此巨大的威力，其原理和本质都是基于线性时不变系统的前提。所以说，线性运算和与之紧密相连的线性系统，是我们必须好好理解的一个内容。

　　不得不提的是傅里叶变换，对于电子工程和从事通信信号处理的工程师来说，这算是大学数学在工程实践中最重要的一个应用吧。比如信号的时移和频移，信号的上下变频处理，实信号的共轭对称特性，复信号和实信号频谱的差异，模拟信号的数字采样，信号的带通采样，频谱的混叠和抗混叠，频谱的镜像，上采样中的内插处理，下采样中的抽取处理，等等等等，都可以从傅里叶变换的角度进行解释和分析。对连续和离散傅里叶变换的全方位理解，有助于我们更深刻的解释和分析具体应用中的各种问题。

　　当应用MATLAB来做一些信号处理算法的仿真时，我才真正体会到线性代数的应用价值和巨大威力。由于信号处理都是用离散的样点来处理的，因此信号处理算法和实现都可以用矢量和矩阵的方式来表达和分析。比如最简单的乘累加运算，可以看做是两个矢量的相乘。信号处理的最基本和最频繁的运算，诸如相关，卷积，滤波，傅里叶变换，所有的这些都可以用简洁的矢量和矩阵形式表达出来。

　　线性代数大概研究几个大方向：解方程，特征值分析，奇异值分析，稳定性分析。在具体工程应用最多的是基本的矢量运算和解方程。对矢量运算的理解非常有助于灵活运用MATLAB，因为MATLAB就是以矢量为处理对象的，矢量操作远比for循环高效的多得多。

当初学习特征值的时候，始终不明白这个特征值到底有什么用，工作多年来也没有看到它到底有什么用。但是，当我因工作需要去了解LMS自适应算法的原理时，我第一次强烈的感受到特征值的价值所在。稍微熟悉LMS算法的人都知道，LMS的每一步迭代，都涉及到一个步进常数，而这个常数该取多大，跟信号相关矩