精通信号处理设计小Tips（5）：三个应用广泛的数学概念

　　本文作者maxfiner，毕业于西安电子科技大学，拥有信号与信息处理专业硕士学位。maxfiner曾供职于华为通信技 术公司无线通信部门，拥有多年的工程项目研发经验，同时兼备算法理论研究，仿真验证，以及对应的硬件设计实现能力；具备通信物理层开发设计各个方面的实战 经验...
　　从事信号处理相关工作，不可避免的用到一些数学知识。通常来说，用到啥，就回头去看啥，或者说，缺啥补啥。有一些数学知识，是频繁和反复用到的，因此有必要把它们汇总下。数学方面的东西，只看数学书籍的话，一般情况下，是相当乏味和枯燥的，但是和实际应用结合起来，就发现数学的魅力、力量和威力还是很强大的。和实际问题结合起来，数学也就变得有趣起来。在这里，暂时举出三例，后续继续丰富和完善。

　　一 复数的概念

　　复数可以说是我们从小到大一路走来，最后学到的一种数了。从历史的角度看，它也是最后引入的几个数之一，直到最近几百年才开始引入并推广应用。它是为了解方程的方便而引入的，而且一开始还一直不被人们接受，这些人中包括很多大数学家。可见一个新的事物，一个新的概念，一种新的思想，要想被人接受是很困难的，很漫长的一件事情。但是，随着时间的发展，由于它的独特价值，最终被人接受并广泛应用。复数除了解方程之外，在工程领域，最能体现复数应用价值的是两个方向，一个是量子力学，一个就是电磁学。

　　复数的概念在电子工程，电磁场与电磁波等领域应用极为广泛，在信号处理方向更是如此。不论是信号处理的基础理论——傅里叶变换，还是信号的基带表示和带通表示，解析表示，不论是频谱的分析，还是讨论信号的时移和相位，都离不开复数这个有力的工具的支撑。

　　相关概念：

　　应用举例简述如下，在相关章节会分别进行更详细的介绍。

　　BPSK，QPSK，16QAM等调制方式，信号星座可看做信号正交分量和同相分量的复数域的表示。

　　发射机的EVM测试，即根据星座点在复平面上的位置进行计算，计算的目标就是实际测得的星座点和参考星座点之间的距离，或者说就是复平面上两个点的距离。

　　接收机存在某个频率偏移时，星座图上的星座点会以恒定速率旋转，围绕原点做匀速圆周运动，运动角速度和频率偏移大小成正比。

　　电路的阻抗分析、谐振分析均以复数运算为基础。

　　实信号的频谱是共轭对称的。频谱的镜像可用共轭成分来表示。

　　安捷伦和罗德施瓦茨都有矢量信号发生器，矢量信号分析仪，这些信号都是复数形式的信号。

　　信道估计算法，本质上可以看做是复数的除法运算。

　　发射机的正交上变频，接收机的正交下变频，本质上可以看做复数的乘法运算。

　　接收机频偏的补偿，本质上可以看做复数的乘法运算。

　　发射机链路和接收机链路上各个节点的功率的计算，为复数的模平方的计算，在信号功率监测，模拟自动增益控制（AAGC），数字自动增益控制（DAGC）等领域中有广泛应用。

　　二 信号的伸缩和平移

　　信号的伸缩和平移，尤其是平移，在信号处理的理论和实践中有着广泛的应用。信号时域的平移和频域的相移之间的关系，是非常奇妙而又应用广泛的一对关系。信号的伸缩和平移，从数学上来说，就是函数的伸缩和平移的应用，这是高中初等数学的范畴，应该是非常一般的，即使很久不用数学也不会忘记的一个概念和方法。但是因为它如此的重要，因此有必要单独拿出来进行一个小小的总结，从而更好的利用这一有效工具去解决各种信号处理相关的问题。这一章节专门讨论和总结平移。伸缩的讨论等到真正用到它时（比如信号的插值和抽取）再进行相应描述。

　　信号的平移，最简单的是记住四个字——"加左减右"。即移动量是正值，则整个信号波形向左移动，即向x坐标轴的负轴方向移动。移动量是负值，则整个信号波形向右移动，即向x坐标轴的正轴方向移动。虽然想象左右比想象上下的心理反应时间要慢些，但多多体会就会熟记于心的。

　　举个例子，比如单位采样信号为不妨想一下，和单位冲击信号有何区别呢？），如下图所示：

　　若是信号形式为则整个波形向左移动5个采样点，如下图所示：

　　对于一般的一个信号可以根据单位采样信号的平移性质，表示成如下形式：

　　也就是说，任何一个离散信号，都可以表示成单位采样信号的线性叠加形式。从信号与系统的角度来说，这是系统线性叠加的体现。这里的系统，当然是线性时不变系统，满足齐次性，叠加性和时不变性，这是我们所有关于信号与系统的分析的前提。

　　三 和差化积公式

积化和差公式最普