滤波器基础：抗混叠

摘要：在数据采样系统中，高于二分之一采样率的频率成分"混叠"(搬移)到有用频带。大多数时间，混叠是有害的副作用，所以在模/数(AD)转换级之前，将"欠采样"的较高频率简单滤除。但有时候，特意设计利用欠采样，混叠使得AD系统作为混频器工作。 本应用笔记讨论数据采样系统的不同滤波要求，介绍混叠以及用于抗混叠的不同类型滤波器。

滤波是一种我们往往视为当然的常见过程。我们在打电话时，接收器滤除其它所有信道，使我们仅仅接收到特定的信道。当我们调节立体声系统的均衡器时，利用带通滤波器选择性增大或降低特定频带的音频信号。

滤波器在几乎所有数据采样系统中扮演着重要角色。大多数模/数转换器(ADC)都安装有滤波器，滤除超出ADC范围的频率成分。有些ADC在其结构本身上就具有滤波功能。

我们接下来讨论数据采样系统、滤波要求以及与混叠的关系。

背景

数据采样系统能够高精度处理的最大频率成分称为其奈奎斯特极限。采样率必须大于或等于输入信号最高频率的两倍。如果违反该规则，在有用频带内就会出现多余或有害的信号，称之为"混叠"。

例如，为了数字化1kHz信号，要求最低采样率为2kHz。在实际应用中，采样率通常较高，以提供一定的裕量，降低滤波要求。

为帮助理解数据采样系统和混叠，我们以传统的电影摄影为例。

在西部老片中，当马车加速时，车轮正常加速转动，然后看起来车轮速度却变慢了，再然后似乎停止了。当马车进一步加速时，车轮看起来像在倒转。实际上，我们知道马车没有倒走，因为其它动作都一切正常。什么原因造成了这种现象？答案就是：帧速率不够高，不足以准确捕获车轮的转动。

为帮助理解，假设在马车车轮上贴一个看得到的标记，然后车轮转动。然后我们按时间拍摄照片(或采样)。由于电影摄影机通过每秒捕获一定数量的照片来捕获动作，所以本质上是数据采样系统。就像胶片采用车轮的离散图像一样，ADC捕获的是运动电信号的一系列快照。

当马车首次加速时，采样率(电影摄影机的帧速率)远远高于车轮的转速，所以满足奈奎斯特条件。摄像机的采样率高于车轮转速的两倍，所以能够准确描述车轮的运动，我们看到车轮加速的样子(图1a和1b)。

在奈奎斯特极限下，我们在180度范围内看到两个点(图1c)。人眼一般很难明确分辨这两个点的时间，这两个点同时出现，车轮表现为停止。在这种车轮转速下，转动速率是已知的(根据采样率)，但搞不清楚转动方向。当马车继续加速时，不再满足奈奎斯特条件，看到车轮的方式可能有两种：我们"看到"车轮在正转，其他人则看到是倒转(图1d)。

图1. 马车车轮的例子。

这两种方向都可以看做是正确的方向，取决于您如何"看"车轮，但我们知道已经发生了信号混叠。也就是说，系统中出现了有害的频率成分，我们不能将其与真实值区分开，同时出现了正转和倒转的运动信息。我们一般看到倒转成分或正转成分的"约数"或"镜像"。由于是眼/脑相结合的方式处理数据,因此我们并不能察觉到车轮前转的主要信息。另一种有意思的现象是采样率与车轮转速严格相等时，由于标记始终出现在车轮的相同位置，所以数据几乎没有提供有用信息。在这种情况下，没有人能清楚车轮在转动还是静止。

现在转入数学领域，假设车轮为单位圆，采用正弦和余弦坐标。如果在余弦值的正向和负向峰值采样(180度错相)，那么就满足奈奎斯特条件，能够利用两个采样数据点重构原始余弦值。所以，奈奎斯特极限是重构原始信号的关键。当增加的点越来越多时，复现原始信号的能力就提高了。

转到频域，图2所示为采样数据系统的频率响应。注意，数据在采样率的倍数处重复(原始信号的"镜像")；这是采样数据系统的一种基本特征。图2a中，满足奈奎斯特条件，有用频带内没有混叠现象。然而，在图2b中，由于有用频带内的最高频率大于二分之一采样率，不再满足奈奎斯特条件。重叠的区域发生了混叠；频率为fT的信号也出现在fT'处，与马车车轮的混叠相似。

图2a. 采样数据系统频率响应，无混叠。

图2b. 采样数据系统频率响应，发生混叠。

欠采样

欠采样是一种功能强大的工具，可有效用于所选应用。欠采样允许ADC作为一个混频器，能够接收调制高频载波信号并产生较低频率的镜像。这种方式下，就像下变频器。另一种主要优点是允许ADC的采样率低于奈奎斯特频率，一般具有较明显的成本优势。例如，假设调制载波为10MHz，带宽为100kHz (±50kHz，中心频率为10MHz)。以4MHz进行欠采样，产生1阶和与差项(f1 + f2和f1 - f2)，分别为14MHz和6Mz；2阶项(2f1、2f2、2f1 + f2、f1 + 2f2、