一种改善微弱信号信噪比的小波变换消噪法
时间：05-14
来源：EDN
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0 引 言
任何一个系统都不可能做到完全没有噪声，甚至有相当多的时候所需要的有用信号被强背景噪声淹没。因此如何从信噪比为负十几dB甚至几十个dB的环境中有效地提取出有用信号显得越来越重要。对于这种微弱信号的检测问题的研究，目前已经取得一些进展，比如随机共振检测理论、分段采样信号的相位关联检测技术以及混沌理论微弱信号检测原理等。虽然各有所长，但在实际运用过程中还存在这样那样的缺陷，不能满足需要。
这里介绍了最近发展较快的小波分析理论在信号去噪方面的应用，提出了适合于极低信噪比条件下的小波变换去噪法，通过构造具有自适应性的阈值函数以及阈值处理方式的优化设计，可以提取微弱的有用信号特征信息，实现信号恢复。
1 小波变换检测微弱信号原理
小波分析是一种时频域分析，具有多分辨率特性。因此在时频域都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口大小不变但其形状可改变时频局部化分析方法。在高频部分使用逐渐尖锐的时间分辨率和较低的频率分辨率，以便移近观察信号的快变部分；在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，以便移远观察信号的慢变部分(整体变化趋势)，小波这种信号分析表示特征对分析非平稳信号是非常有效的，很适合探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并且展示其成分。这种时频面上的分析给信号处理带来前所未有的更为深入的发展。
运用小波分析进行一维信号消噪处理是小波分析的重要应用之一，下面将其消噪的基本原理做简要的说明。
一个含噪声的一维信号的模型可以表示成如下的形式：
其中：f(i)为真实信号；e(i)为噪声；s(i)为含噪声的信号。在实际工程中，有用信号通常表现为低频部分或是一些比较平稳的信号，而噪声信号则通常表现为高频的信号。所以消噪过程可按如下方法进行处理：首先对信号进行小波分解，则噪声部分通常包含在各层的高频分量中，因而可以以门限阈值等形式对小波系数进行处理，然后对信号进行重构即可达到消噪的目的。
根据上文的分析可以知道，一维信号的消噪过程可分为2个步骤进行：
(1)一维信号的小波分解。选择一个小波并确定一个小波分解的层次N，然后对信号进行N层小波分解；
(2)小波分解高频系数的阈值量化。从第1层到第N层的每一层高频系数选择1个阈值进行软阈值量化处理；
(3)一维小波的重构。根据小波分解的第N层的低频系数和经过量化处理后的第1层到第N层的高频系数，进行一维信号的小波重构。
在这三个步骤中，最关键的就是如何选取阈值和如何进行阈值的量化，从某种程度上说，它关系到信号的质量。这里针对传统信号的阈值函数选取以及分解系数处理方式的不足之处，结合工程实际进行了改善。
2 小波阈值函数的构建
小波阈值去噪的理论依据为：属于能量有限空间的信号在小波域内其能量主要集中在有限的几个系数中，而噪声的能量却分布在整个小波域中，因此经过小波分解后信号的系数要大于噪声的系数，于是可以找到一个合适的数λ作为阈值(门限)，当分解系数小于该阈值时，认为这时的分解系数主要是由噪声引起的，并置为零，予以舍弃；当分解系数大于该阈值时，认为这时的分解系数主要是由信号引起的，则把这一部分分解系数的直直接保留下来(硬阈值方法)或者按某一固定量向零缩(软阈值方法)，然后由新的小波系数进行小波重构到去噪后的信号。
小波阈值的选取是一个非常重要的步骤，其直接影响噪声消除的效果。很明显，如果阈值过高，则会将系数分量中的信号成分当作噪声分量去除，造成信号失真；反之，若阈值选取过低，又不能充分去除噪声，不能达到很好的效果。此外，不同的阈值构建方法其适用场合也不尽相同，必须围绕信噪比和信号特点综合考虑构建方式。
针对微弱信号的特点，即SNR<一1，此时噪声的能量较大，由于信号的信噪比：
式中：σs为信号强度；σn为噪声强度。由此可知，当信号强度减小或者噪声强度增大时，信噪比均会减小。因此，当噪声占主要地位时，若是只考虑噪声强度是不全面的，例如当信号强度不变，增大噪声，信噪比减小；若是只考虑噪声强度则会使得阈值成线性上升，使得丢失的信息过多，对于信号参数的估计和信号的重构都是不利的。另一方面，如果信号是周期性连续信号，最好选择同样具有连续性的阈值函数。因此，考虑选取阈值为：
其中：j为小波变换尺度；N为采样点个数；μ为调节因子；用以调节随σs/σn变化，exp[μ(σs/σn)]变化的快慢。
3 阈值处理方式的优化
传统的硬、软阈值方法虽然在实际中得到了广泛的应用，也取得了较好的效果，但这些方法本身还存在一些缺陷。在硬阈值处理过程中，得到的估计小波系数值连续性差，即由于分解系数在±λ处是不连续的，因此重构所得的信号可能会产生一些振荡；而软阈值方法中估计小波系数虽然整体连续性好，但是由于当小波系数较大时，分解系数之间总存在恒定的偏差，这将直接影响重构信号与真实信号的逼近程度，给重构信号带来不可避免的误差。
如果对噪声用分解的系数用C(J，k)表示，其中j代表小波尺度，k代表时间，则可以得出如下结论：
(1)如果所分解的信号是一个平稳、零均值的白噪声，则其小波分解系数是不相关的；
(2)如果所分解的信号是一个高斯噪声，则其小波分解系数是独立的，并且也是高斯分布的；
(3)如果所分析的信号是一个有色、平稳、零均值的高斯噪声序列，则其小波分解系数也是高斯序列。对每一个分解尺度j，其系数是一个有色、平稳的序列。
用ω(j,k)表示对含噪信号进行小波分解后得到的小波系数，由于小波变换是一种线形变换，因此它由2部分组成：信号对应的小波系数和噪声对应的小波系数。由于软阈值方法估计出来的小波系数ω(j,k)的绝对值总比ω(j,k)要小λ而影响了重构精度，应设法减小此偏差。只要使ω(j,k)与由信号对应的小波系数之间的差值尽量小，则ω(j,k)更接近于信号对应的小波系数，重构精度就越高。构造函数：
可知，当a=O时上式等效为。Donoho硬阈值；当a一1时，上式等效为Donoho软阈值；当a在0～1之间变化时，z一±cx3，有|f(x)一x|一>aλ。也就是说，随着ω(j,k)模值的增大，ω(j,k)与ω(j,k)偏差的绝对值逐渐减小为αλ，大大减小了软阈值方法中产生的恒定偏差，提高了重构精度，改善了去噪效果。可见，相对于硬、软阈值函数，新阈值函数是一个更优、更灵活的选择。只要在0和1之间适当的调整α的大小，就可以获得更好的去噪效果。图1是用．Matlab画出的Donoho软、硬阈值图及新阈值函数图(α=O．1)。
任何一个系统都不可能做到完全没有噪声，甚至有相当多的时候所需要的有用信号被强背景噪声淹没。因此如何从信噪比为负十几dB甚至几十个dB的环境中有效地提取出有用信号显得越来越重要。对于这种微弱信号的检测问题的研究，目前已经取得一些进展，比如随机共振检测理论、分段采样信号的相位关联检测技术以及混沌理论微弱信号检测原理等。虽然各有所长，但在实际运用过程中还存在这样那样的缺陷，不能满足需要。
这里介绍了最近发展较快的小波分析理论在信号去噪方面的应用，提出了适合于极低信噪比条件下的小波变换去噪法，通过构造具有自适应性的阈值函数以及阈值处理方式的优化设计，可以提取微弱的有用信号特征信息，实现信号恢复。
1 小波变换检测微弱信号原理
小波分析是一种时频域分析，具有多分辨率特性。因此在时频域都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口大小不变但其形状可改变时频局部化分析方法。在高频部分使用逐渐尖锐的时间分辨率和较低的频率分辨率，以便移近观察信号的快变部分；在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，以便移远观察信号的慢变部分(整体变化趋势)，小波这种信号分析表示特征对分析非平稳信号是非常有效的，很适合探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并且展示其成分。这种时频面上的分析给信号处理带来前所未有的更为深入的发展。
运用小波分析进行一维信号消噪处理是小波分析的重要应用之一，下面将其消噪的基本原理做简要的说明。
一个含噪声的一维信号的模型可以表示成如下的形式：
其中：f(i)为真实信号；e(i)为噪声；s(i)为含噪声的信号。在实际工程中，有用信号通常表现为低频部分或是一些比较平稳的信号，而噪声信号则通常表现为高频的信号。所以消噪过程可按如下方法进行处理：首先对信号进行小波分解，则噪声部分通常包含在各层的高频分量中，因而可以以门限阈值等形式对小波系数进行处理，然后对信号进行重构即可达到消噪的目的。
根据上文的分析可以知道，一维信号的消噪过程可分为2个步骤进行：
(1)一维信号的小波分解。选择一个小波并确定一个小波分解的层次N，然后对信号进行N层小波分解；
(2)小波分解高频系数的阈值量化。从第1层到第N层的每一层高频系数选择1个阈值进行软阈值量化处理；
(3)一维小波的重构。根据小波分解的第N层的低频系数和经过量化处理后的第1层到第N层的高频系数，进行一维信号的小波重构。
在这三个步骤中，最关键的就是如何选取阈值和如何进行阈值的量化，从某种程度上说，它关系到信号的质量。这里针对传统信号的阈值函数选取以及分解系数处理方式的不足之处，结合工程实际进行了改善。
2 小波阈值函数的构建
小波阈值去噪的理论依据为：属于能量有限空间的信号在小波域内其能量主要集中在有限的几个系数中，而噪声的能量却分布在整个小波域中，因此经过小波分解后信号的系数要大于噪声的系数，于是可以找到一个合适的数λ作为阈值(门限)，当分解系数小于该阈值时，认为这时的分解系数主要是由噪声引起的，并置为零，予以舍弃；当分解系数大于该阈值时，认为这时的分解系数主要是由信号引起的，则把这一部分分解系数的直直接保留下来(硬阈值方法)或者按某一固定量向零缩(软阈值方法)，然后由新的小波系数进行小波重构到去噪后的信号。
小波阈值的选取是一个非常重要的步骤，其直接影响噪声消除的效果。很明显，如果阈值过高，则会将系数分量中的信号成分当作噪声分量去除，造成信号失真；反之，若阈值选取过低，又不能充分去除噪声，不能达到很好的效果。此外，不同的阈值构建方法其适用场合也不尽相同，必须围绕信噪比和信号特点综合考虑构建方式。
针对微弱信号的特点，即SNR<一1，此时噪声的能量较大，由于信号的信噪比：
式中：σs为信号强度；σn为噪声强度。由此可知，当信号强度减小或者噪声强度增大时，信噪比均会减小。因此，当噪声占主要地位时，若是只考虑噪声强度是不全面的，例如当信号强度不变，增大噪声，信噪比减小；若是只考虑噪声强度则会使得阈值成线性上升，使得丢失的信息过多，对于信号参数的估计和信号的重构都是不利的。另一方面，如果信号是周期性连续信号，最好选择同样具有连续性的阈值函数。因此，考虑选取阈值为：
其中：j为小波变换尺度；N为采样点个数；μ为调节因子；用以调节随σs/σn变化，exp[μ(σs/σn)]变化的快慢。
3 阈值处理方式的优化
传统的硬、软阈值方法虽然在实际中得到了广泛的应用，也取得了较好的效果，但这些方法本身还存在一些缺陷。在硬阈值处理过程中，得到的估计小波系数值连续性差，即由于分解系数在±λ处是不连续的，因此重构所得的信号可能会产生一些振荡；而软阈值方法中估计小波系数虽然整体连续性好，但是由于当小波系数较大时，分解系数之间总存在恒定的偏差，这将直接影响重构信号与真实信号的逼近程度，给重构信号带来不可避免的误差。
如果对噪声用分解的系数用C(J，k)表示，其中j代表小波尺度，k代表时间，则可以得出如下结论：
(1)如果所分解的信号是一个平稳、零均值的白噪声，则其小波分解系数是不相关的；
(2)如果所分解的信号是一个高斯噪声，则其小波分解系数是独立的，并且也是高斯分布的；
(3)如果所分析的信号是一个有色、平稳、零均值的高斯噪声序列，则其小波分解系数也是高斯序列。对每一个分解尺度j，其系数是一个有色、平稳的序列。
用ω(j,k)表示对含噪信号进行小波分解后得到的小波系数，由于小波变换是一种线形变换，因此它由2部分组成：信号对应的小波系数和噪声对应的小波系数。由于软阈值方法估计出来的小波系数ω(j,k)的绝对值总比ω(j,k)要小λ而影响了重构精度，应设法减小此偏差。只要使ω(j,k)与由信号对应的小波系数之间的差值尽量小，则ω(j,k)更接近于信号对应的小波系数，重构精度就越高。构造函数：
可知，当a=O时上式等效为。Donoho硬阈值；当a一1时，上式等效为Donoho软阈值；当a在0～1之间变化时，z一±cx3，有|f(x)一x|一>aλ。也就是说，随着ω(j,k)模值的增大，ω(j,k)与ω(j,k)偏差的绝对值逐渐减小为αλ，大大减小了软阈值方法中产生的恒定偏差，提高了重构精度，改善了去噪效果。可见，相对于硬、软阈值函数，新阈值函数是一个更优、更灵活的选择。只要在0和1之间适当的调整α的大小，就可以获得更好的去噪效果。图1是用．Matlab画出的Donoho软、硬阈值图及新阈值函数图(α=O．1)。
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