分数阶Fourier变换应用于水声通信及其FPGA实现

摘要：线性调频信号瞬时频率随时间呈线性变化，其在分数阶傅里叶变换域中具有能量聚焦特性，利用这一特性，将分数阶傅立叶变换应用于由LFM信号充当信息载体的水声通信体制中。研究表明：该应用能够提高系统的抗噪声干扰、抗多径干扰和频率选择性衰减的能力。并在FPGA上完成了该方法的实现，验证了算法的可行性。

引言

近年来，随着海洋活动增多，水声通信逐渐崭露头角。早期的水声通信多使用模拟调制技术^[1][2]，而新的水声通信系统开始采用数字调制技术。主流数字调制技术有幅移键控(ASK)、频移键控(FSK)和相移键控(PSK)^[3]。由于水声信道的特殊性，水声通信的发展远远滞后。该信道中，线性调频信号性能优良^[4]。线性调频信号在分数阶傅里叶变换域中具有能量聚焦特性，将其应用于水声通信中，能够提高系统的抗噪声干扰、抗多径干扰和频率选择性衰减的能力^[5]。

分数阶Fourier变换(Fractional Fourier Transform: FRFT)是一种统一的时频变换，它用单一的变量同时反映出信号在时域和频域的信息，避免了交叉项的困扰。这使得FRFT比传统的Fourier变换(Fourier Transform: FT)更适合处理非平稳信号，特别是Chirp类信号。FRFT发展至今，理论研究较多，但将其进行硬件实现的较少。本文基于Ozaktas的分解型算法^[6]，结合数字信号处理方法^[7]，初步研究了基于分数阶Fourier变换的U域调制的水声通信算法，并在FPGA上进行了实现。

分数阶Fourier变换基本原理

分数阶Fourier变换的定义

Fourier变换是一种线性算子，若将其看作从时间轴逆时针旋转π/2到频率轴，则FRFT是从时间轴旋转任意角α到分数阶域(U域)的算子，它联系起时域与分数阶域。因此，可认为FRFT是一种广义的FT。

定义在时域的函数x(t)的p阶FRFT是一个线性积分运算，其定义式为：
???????? ?

FRFT可以理解为Chirp基分解。一个Chirp信号在某个对应的分数阶域(U域)对应一个冲击函数。因此，Chirp信号通过FRFT在某个分数阶域(U域)具有良好的能量聚焦性能。

采样型离散分数阶Fourier变换的快速算法

由FRFT的定义可知，DFRFT的计算比DFT复杂许多。所以DFRFT在计算上的有效性很重要，一般希望DFRFT的计算复杂度可与FFT相比。DFRFT定义方法可采用直接采样连续分数阶Fourier变换核来得到DFRFT核矩阵。

Ozaktas的采样型算法由H.M.Ozaktas提出^[8]：根据连续FRFT的积分定义式，将FRFT的复杂积分变换分解为若干简单的计算步骤，然后经两步离散化处理得到一个离散卷积表达式，这样便可利用FFT来计算FRFT。因此，这种算法的计算速度几乎和FFT相当。本文FRFT的FPGA实现主要采用这种方法，并对这种算法做一个实现上的改进。

Ozaktas的采样型算法将FRFT分解为以下三步运算：

(1)Chirp信号调制原信号x(t)，;?

(2)调制信号与另一个Chirp信号卷积，;?

(3)用Chirp信号调制卷积后的信号，。?

这种快速算法的机理决定了在进行FRFT数值计算前必须对原始信号进行量纲归一化处理，参考文献^[9][10]提出了两种实用的量纲归一化方法：离散尺度化法和数据补零/截取法。

分数阶Fourier变换在水声通信中的应用

FRFT在信号处理和通信等领域已有许多应用^[10]。本文利用FRFT适用于处理Chirp类信号的优势，初步研究了基于FRFT的调制解调技术。

根据FRFT的逆变换公式：
???????? ?

可知，信号x(t)的FRFT 可以理解为x(t)在以其逆变换核为基的函数空间上的展开，而此核是u域上的一组正交Chirp基。因此一个Chirp信号在适当的u域中对于特定的Chirp信号具有最好的能量聚集特性。用FRFT实现线性调频信号的参数检测和估计可通过旋转角α对变量进行扫描，通过对信号进行快速的FRFT，再以(α，u)的二维平面中进行峰值搜索，即可较准确估计被检测信号的幅度、初始相位、起始频率等参数值。?

对于一组调频斜率相同但中心频率不同的线性调频信号，可以根据不同的冲击函数找到对应的原信号的频率，从而还原出原信息。例如可将数字信息(00，01，10，11)调制到四组斜率相同但中心频率不同的线性调频信号上。在接收端将接收数据进行FRFT，之后将变换后的数据在u域进行峰值位置搜索，找到其最大值进而确定出原线性调频信号的中心频率，从而还原出原信息，上述过程如图1所示。　　

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FRFT是线性变换，由于它具有信号能量聚焦性，而噪声却不会聚焦，使其在具有加性噪声的多分量情况下更具优势。为了更好地说明它的优点，进行了计算机对比仿真研究。

仿真条件：信噪比从-20dB至10dB，仿真信道如图2所示。　　

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传统4FSK参数如下：载波频率分别为f₁=4500Hz，f₂=5500Hz，f₃=6500Hz，f₄=7500Hz。