只含一个非线性项的超混沌系统及其电路实现

混沌是指确定的宏观的非线性系统在一定条件下所呈现的不确定的或不可预测的随机现象，是非线性动力系统所特有的一种复杂动力系统，混沌理论是20世纪继相对论和量子力学之后的第三次科学革命。自20世纪60年代Lorenz在一个三维自治系统首次发现混沌吸引子以来，混沌的研究者越来越多，使得混沌理论得到了迅速发展。特别是20世纪90年代计算机科学的运用和发展以来，人们对混沌的认识逐渐加深，其中代表性的有1999年陈关荣等发现的混沌吸引子Chen系统，2002年吕金虎等进一步发现的Lü系统以及2004年刘崇新等提出的三维自治系统。

近年来，研究者构造了许多超混沌系统，但对只含有一个非线性项的超混沌系统的研究不多，对这种超混沌系统的控制的研究更少。本文首先构造了一个只有一个非线性项的四维超混沌系统，对其进行了复杂的动力学分析，同时，给出了此超混沌系统的电路实现原理图，用Multisim电路仿真软件进行了仿真实验，证实了混沌系统的存在性。

1 新超混沌系统的分析

1.1 超混沌系统数据模型

混沌是非线性动力系统所特有的复杂动力系统，而含有非线性项是非线性动力系统的必要条件，故非线性项对能否出现混沌起着至关重要的作用。构造出的只含有一个非线性项的新四维动力系统方程式为：



其中a=0.58，其他所有状态变量均为实数。可见系统(1)只有一个非线性项，通过Matlab仿真得到其三维相图及各平面相图如图1～图4所示。



观察图1～图4的相轨迹图可以推测系统(1)可能具有混沌的动力学特征。

1.2 系统的Lyapunov指数

Lyapunov指数是定量描述混沌吸引子的相邻轨线收缩或扩张的量，混沌系统和超混沌系统很难区分,可以通过系统的Lyapunov指数来区分。由参考文献可知，对于一个四维自治的系统,在它的4个Lyapunov指数中，当最大Lyapunov指数为零，其他Lyapunov指数为负时，系统是周期的；当2个最大的Lyapunov指数都为零，其他Lyapunov指数为负时,系统是伪周期的；当最大的Lyapunov指数为正，其他3个Lyapunov指数中有1个为零，其余为负时，系统是混沌的；当有2个最大的Lyapunov指数为正，其他2个Lyapunov指数中有1个为零，有1个为负时，系统是超混沌的。运用Matlab计算出系统(1)的Lyapunov指数，当t→∞时，系统(1)的4个Lyapunov指数为：λL1=0.101 4，λL2=0.014 0，λL3=0，λL4=-0.646 2。由此可知系统(1)是一个超混沌动力系统。

1.3 超混沌系统Poincare映射图

Poincare映射是一种经典的分析动力系统的技术，可以通过Poincare截面上截点的情况判断是否发生混沌：当Poincare截面上有且仅有一个不动点或少数离散点时，运动是周期的；当Poincare截面上是一封闭曲线时，运动是准周期的；当Poincare截面上是一些成片的具有分形结构的密集点时，运动是混沌的。系统（1）在z=0截面的Poincare映射图如图5所示。



从图5中可以观察到截面上是一些成片的具有分形结构的密集点，可以明确知道系统是混沌的，从而也验证了1.2中的判断。

2 系统混沌模型电路仿真

对超混沌系统(1)的电路进行了详细推导，得到超混沌的电路数学模型为：



该超混沌系统的实现电路如图6所示。



分别在输出端口处接入示波器，得到系统对应图2～图4各相面的仿真相图，如图7(a)～图7(c)所示。

通过观察可以发现，图7(a)～图7(c)与图2～图4各相面的Matlab仿真图一致。



本文构造了一个四维只含一个非线性项的动力系统，对该系统的相轨迹图、Poincare映射图、Lyapunov指数等复杂动力学特征进行分析和电路仿真实验验证，证实了只含一个非线性项超混沌系统的存在性。