给"小白"图示讲解OFDM的原理

　　起因是这样的。时间回到07年底，4G方兴之时，同桌隔壁的隔壁"小白"同学说看不太明白OFDMA的原理，让我讲解一下。我一向对自己的技术水平、逻辑思考能力和表达技巧还是蛮有自信的，因此轻笑一声就答应了。半小时后，在尝试了从时域、频域以及物理意义等各方面讲解，但均无法从“小白”的眼神中抹除那份迷茫之后，我竖起了白旗，让“小白”自生自灭去了。
　　对知识能力的掌握，我自己粗旷的分为两层：一层是“会了，能应用”;二层是“懂了，能衍生”。而能讲解出来，并让人懂，大抵就是区分一层和二层的分水岭。打一个屌丝男喜闻乐见的比方：第一层就是人界的修炼，即使是“会了”，也是有筑基、金丹、元婴等境界之分的，而高考研考就是天劫，不到大乘之境，终究要化为劫灰;第二层是天界，也自有天仙、金仙之分，而能修至道祖的大牛，终究只是寥寥。我一向觉得自己在专业上还算是个“小仙”，可惜就被“小白”打脸了。
　　这事儿对我的负面影响挺大的，一是怀疑自己技术宅做久了，表达能力方面严重退化【比如我偶尔会在搜索一个精准的动词或者形容词时，需要尝试2-3次，甚至更多】;二是在涉及到OFDM方面的内容时，仿佛就会看到一张白纸上逡巡着一只挥之不去的黑苍蝇。
　　时隔多年，近期又回顾了一下OFDM，不经意又记起这桩公案，犹豫再三，还是决定花时间写下这篇文章，把这只盘旋于脑中的“黑苍蝇”拍死。因此虽然现在网络资源极大丰富，各种文章都可以搜到，其实我是没必要专门写这篇未必比别人写得好的文章的。不过毕竟是自己遗留的缺失，需要自己来补上。
　　下面试图以图示为主讲解OFDM，以"易懂"为第一要义。"小白"，你准备好了吗?
　　注：下面的讨论如果不做说明，均假设为理想信道。
　　章节一：时域上的OFDM
　　OFDM的"O"代表着"正交"，那么就先说说正交吧。
　　首先说说最简单的情况，sin(t)和sin(2t)是正交的【证明：sin(t)·sin(2t)在区间[0,2π]上的积分为0】，而正弦函数又是波的最直观描述，因此我们就以此作为介入点。既然本文说的是图示，那么我们就用图形的方式来先理解一下正交性。【你如果能从向量空间的角度，高屋建瓴的看待这个问题的话，你也就不是"小白"了，RU?】
　　在下面的图示中，在[0,2π]的时长内，采用最易懂的幅度调制方式传送信号：sin(t)传送信号a，因此发送a·sin(t)，sin(2t)传送信号b，因此发送b·sin(2t)。其中，sin(t)和sin(2t)的用处是用来承载信号，是收发端预先规定好的信息，在本文中一律称为子载波;调制在子载波上的幅度信号a和b，才是需要发送的信息。因此在信道中传送的信号为a·sin(t)+b·sin(2t)。在接收端，分别对接收到的信号作关于sin(t)和sin(2t)的积分检测，就可以得到a和b了。(以下图形采用google绘制)
　　


　　图一：发送a信号的sin(t)
　　


　　图二：发送b信号的sin(2t)【注意：在区间[0,2π]内发送了两个完整波形】
　　


　　图三：发送在无线空间的叠加信号a·sin(t)+b·sin(2t)
　　


　　图四：接收信号乘sin(t)，积分解码出a信号。【如前文所述，传送b信号的sin(2t)项，在积分后为0】
　　


　　图五：接收信号乘sin(2t)，积分解码出b信号。【如前文所述，传送a信号的sin(t)项，在积分后为0】
　　


　　图六：流程图
　　到了这里，也许你会出现两种状态：
　　一种是：啊，原来是这样，我懂了。
　　一种是：啊，怎么会这样，我完全无法想象。这里要说的是，你根本用不着去想象(visualize)。数学中是如此定义正交的，数学证明了它们的正交性，那么他们就是正交的，【他们就可以互不干扰的承载各自的信息】。选取sin(t)和sin(2t)作为例子，正是因为它们是介于直观和抽象的过渡地带，趟过去吧。
　　上面的图示虽然简单，但是却是所有复杂的基础。
　　1.1
　　下一步，将sin(t)和sin(2t)扩展到更多的子载波序列{sin(2π·Δf·t)，sin(2π·Δf·2t)，sin(2π·Δf·3t),...,sin(2π·Δf·kt)}
　　(例如k=16，256，1024等)，应该是很好理解的事情。其中，2π是常量;Δf是事先选好的载频间隔，也是常量。1t,2t,3t,...,kt保证了正弦波序列的正交性。
　　1.2 再下一步，将cos(t)也引入。容易证明，cos(t)与sin(t)是正交的，也与整个sin(kt)的正交族相正交。同样，cos(kt)也与整个sin(kt)的正交族相正交。因此发射序列扩展到{sin(2π·Δf·t),sin(2π·Δf·2t),sin(2π·Δf·3t),...,sin(2π·Δf·kt),cos(2π·Δf·t),cos(2π·Δf·2t),cos(2π·Δf·3t),...,cos(2π·Δf·kt)}也就顺理成章了。
　　1.3
　　经过前两步的扩充，选好了2组正交序列sin(kt)和cos(kt)，这只是传输的"介质"。真正要传输的信息还需要调制在这些载波上，即sin(t),sin(2t),...,sin(kt)分别幅度调制a1,a2,...,ak信号,cos(t),cos(2t),...,cos(kt)分别幅度调制b1,b2,...,bk信号。这2n组互相正交的信号同时发送出去，在空间上会叠加出怎样的波形呢?做简单的加法如下：
　　f(t) = a1·sin(2π·Δf·t) +
　　a2·sin(2π·Δf·2t) +
　　a3·sin(2π·Δf·3t) +
　　...
　　ak·sin(2π·Δf·kt) +
　　b1·cos(2π·Δf·t) +
　　b2·cos(2π·Δf·2t) +
　　b3·cos(2π·Δf·3t)
　　+
　　...
　　bk·cos(2π·Δf·kt) +
　　= ∑ak·sin(2π·Δf·kt) +
　　∑bk·cos(2π·Δf·kt) 【公式1-1：实数的表达】
　　为了方便进行数学处理，上式有复数表达形式如下：
　　f(t) = ∑Fk·e(j·2π·Δf·kt) 【公式1-2：复数的表达，这编辑器找不到上角标...不过，你应该看得懂的】
　　上面的公式可以这样看：每个子载波序列都在发送自己的信号，互相交叠在空中，最终在接收端看到的信号就是f(t)。接收端收到杂糅信号f(t)后，再在每个子载波上分别作相乘后积分的操作，就可以取出每个子载波分别承载的信号了。
　　然后，多看看公式1-1和公式1-2!!!发现咯?这就是傅里叶级数嘛。如果将t离散化，那么就是离散傅立叶变换。所以才有OFDM以FFT来实现的故事。将在下面的章节进行更多的描述。
                                
                　　遵循古老的传统，F表示频域，f表示时域，所以可以从公式1-2中看出，每个子载波上面调制的幅度，就是频域信息。类似的说法是：OFDM传输的是频域信号。这种说法有些别扭，但是很多教程或文章会使用这样的说明方式，就看读者如何理解了。如果纯粹从公式或者子载波来看，这种说法其实也是很直接的阐述了。
　　上面1.1-1.3的扩展，可如下图所示：
　　


　　图七：时域上的OFDM系统图
　　1.4
　　还有这一步吗?其实是有的。"小白"你可以先想想，想不到的话先往下看，因为这需要在频域中考量，所以我写在后面了。【也可参考[1]】
　　将上述的时域分析配上LTE的实现，有如下情况：
　　【注1：本段描述需要有LTE物理层的基本知识，如果看不明白，请暂时跳过，看完整篇文章后再回看】
　　【注2：LTE并非时域的实现，下面仅仅是套用LTE的参数，做一个参考分析】
　　子载波的间隔Δf=15kHz，一个OFDM
　　symbol的发送时间是66.7us，可以发现，15kHz*66.67us=1，即基带上一个OFDM
　　symbol的发送时间正好发送一个一次谐波的完整波形。对于10M的LTE系统，采用的是1024个子载波，但是只有中间600个(不含最中间的直流)子载波被用于传送数据。在一个OFDM
　　symbol的时间内(即66.67us)，靠近中间的两个一次谐波传输一个完整波形，再靠外一点的两个二次谐波传输两个完整波形，以此类推至最外面的两个300次谐波传输了300个完整的波形。在这66.67us内，600个子载波互相正交，其上分别承载了600个复数信号。
　　上面的说法有点啰嗦，不如图示来得直观。本来准备再画一图的，不过一来上面已经有了类似的图，实是大同小异;二来，600个子载波，也太多了点。。。
　　OK，说到这里，从时域上面来看OFDM，其实是相当简洁明快讨人喜欢的。不过，一个系统若要从时域上来实现OFDM，难度太大，时延和频偏都会严重破坏子载波的正交性，从而影响系统性能。这点在各种教材文章中都会有提及，我就不赘述了。
　　下面将转入频域来描述OFDM，由于频域不甚直观，的确会稍稍让人费解。不过只要时刻想着时域子载波间的叠加，一切都会好起来。