给"小白"图示讲解OFDM的原理

章节二：频域上的OFDM
　　第一章节时域上的讨论开始于OFDM中的"O";本章节频域上我们从"FDM"开始。
　　先图例一个常规FDM的系统图：
　　


　　图11：常规FDM，两路信号频谱之间有间隔，互相不干扰
　　为了更好的利用系统带宽，子载波的间距可以尽量靠近些。
　　


　　图12：靠得很近的FDM，实际中考虑到硬件实现，解调第一路信号时，已经很难完全去除第二路信号的影响了(电路的实现毕竟不能像剪刀裁纸一样利落)，两路信号互相之间可能已经产生干扰了
　　还能再近些吗?可以的。这就是OFDM的来历啊，近到完全等同于奈奎斯特带宽(后面有详述)，使频带的利用率达到了理论上的最大值。
　　


　　图13：继续靠近，间隔频率互相正交，因此频谱虽然有重叠，但是仍然是没有互相干扰的。神奇的OFDM
　　上面三个图的确有点小儿科，不知道"小白"是不是已经在心里呐喊：这谁不知道呀!不过我在这里花时间画了三张图，总还是有所考量的：
　　a.
　　作为上一个章节和本章节之间的补充和连接，说明一下OFDM在频域上面的表现，亦即OFDM的本源来历。
　　b. 引导思考：信号的带宽是多少?
　　c.
　　引导思考：OFDM正交频谱叠加部分到底有多宽呢?结合1.4，先想想，再往下看，会更好。
　　再次回到正轨，请回看第一节中的图一至图六等时域波形图，图示了在时域上，波形的调制，叠加接收，以及最终的解码。让我们看看图一至图三中的每个步骤在频域上是如何表现的。
　　首先来看sin(t)。"小白"呀"小白"，你且说说sin(t)的频谱是啥呀?"小白"弱弱的说：是一个冲激。是的，sin(t)是个单一的正弦波，代表着单一的频率，所以其频谱自然是一个冲激。不过其实图一中所示的sin(t)并不是真正的sin(t)，而只是限定在[0,2π]之内的一小段。无限长度的信号被限制在一小截时间之内，【就好比从一个完整的人身上逮下一根头发，然后把整个人都丢掉，以发代人】其频谱也不再是一个冲激了。
　　对限制在[0,2π]内的sin(t)信号，相当于无限长的sin(t)信号乘以一个[0,2π]上的门信号(矩形脉冲)，其频谱为两者频谱的卷积。sin(t)的频谱为冲激，门信号的频谱为sinc信号(即sin(x)/x信号)。冲激信号卷积sinc信号，相当于对sinc信号的搬移。所以分析到这里，可以得出图一的时域波形其对应的频谱如下：
　　


　　图21：限定在[0,2π]内的a·sin(t)信号的频谱，即以sin(t)为载波的调制信号的频谱
　　sin(2t)的频谱分析基本相同。需要注意的是，由于正交区间为[0,2π]，因此sin(2t)在相同的时间内发送了两个完整波形。相同的门函数保证了两个函数的频谱形状相同，只是频谱被搬移的位置变了：
　　


　　图22：限定在[0,2π]内的b·sin(2t)信号的频谱，即以sin(2t)为载波的调制信号的频谱
　　将sin(t)和sin(2t)所传信号的频谱叠加在一起，如下：
　　


　　图23：a·sin(t)+b·sin(2t)信号的频谱
　　图23和图13，均是频域上两个正交子载波的频谱图。比一下，发现了吗?不太一样!
　　是的，想必你已经想起来了，这是因为基带信号在传输前，一般会通过脉冲成型滤波器的结果。比如使用"升余弦滚降滤波器"后，图23所示的信号就会被修理成图13所示的信号了。这样可以有效的限制带宽外部的信号，在保证本路信号没有码间串扰的情况下，既能最大限度的利用带宽，又能减少子载波间的各路信号的相互干扰。这也是1.4中没有提及的，更多的可参考[1]
　　贴士：脉冲成型滤波器作用于频域，可以"看作"时域中的每个码元都是以类似sinc信号发出的。没必要纠结于发送端码元的时域波形，只需要知道在接收端通过合适的采样就可以无失真的恢复信号就OK咯。
　　这里用到的是奈奎斯特第一准则，在下面的框框内会稍作描述：
　　奈奎斯特第一准则请自行google，这里说说其推论：码元速率为1/T(即每个码元的传输时长为T)，进行无码间串扰传输时，所需的最小带宽称为奈奎斯特带宽。
　　对于理想低通信道，奈奎斯特带宽W = 1/(2T)
　　对于理想带通信道，奈奎斯特带宽W =1/T
　　在下面的图31中，可以看出信号的实际带宽B是要大于奈奎斯特带宽W(低通的1/(2T)或者带通的1/T)的，这就是理想和现实的距离。
　　补充说明：本文提到的"带宽"，也即约定俗成的带宽理解方式，指的是信号频谱中>=0的部分。在从低通到带通的搬移过程中，因为将原信号负频率部分也移出来了(也可理解为同乘e(j2πfct)
　　+ e(-j2πfct)的结果，见参考[2])【注：没有上角标和下角标的编辑器，真不爽。不过，你应该看得懂的】，所以带宽翻倍了。如下图所示：
　　


　　图31：内涵丰富的图，请参看上面和下面的说明文字
　　上面专门用框框列出奈奎斯特第一准则，还有一个重要目的就是说明下频带利用率的问题。频带利用率是码元速率1/T和带宽B(或者W)的比值。
　　理想情况下，低通信道频带利用率为2Baud/Hz;带通信道频带利用率同样为2Baud/Hz(负频率移出来后，和正频率一样可以独立携带信号)
　　实际情况下，因为实际带宽B要大于奈奎斯特带宽W，所以实际FDM系统的频带利用率会低于理想情况。
　　【说到这里，终于可以图穷匕见了】而OFDM的子载波间隔最低能达到奈奎斯特带宽，也就是说(在不考虑最旁边的两个子载波情况下)，OFDM达到了理想信道的频带利用率。
　　


　　图32：OFDM正交子载波，载频间距为奈奎斯特带宽，保证了最大的频带利用率
　　将上述的频域分析配上LTE的实现，有如下情况：
　　【注：本段描述需要有LTE物理层的基本知识】
　　子载波的间隔Δf=15kHz，一个OFDM
　　symbol的发送时间是66.7us。在10MHz信道上，1ms的子帧共传输14个OFDM symbol【不是15个，留空给CP了】，每一个OFDM
　　symbol携带600个复数信息，因此：
　　1. 从整个系统来看，波特率为600*14*2/1ms =
　　16.8MBaud，占据带宽10MHz，因此带宽利用率为16.8MBaud/10MHz =
　　1.68Baud/Hz，接近2Baud/Hz的理想情况。【注：一是CP占用了每个OFDM
　　Symbol约1/15的资源，二是10MHz的频带并不是满打满算的用于传输数据，其边界频带需要留空以减少与邻近信道的干扰】
　　2.
　　单从OFDM一个symbol来看，波特率为600*2/66.7us =
　　18MBaud，占据带宽600*15kHz=9MHz【不考虑边界子载波带外问题】，因此其带宽利用率为18MBaud/9MHz=2Baud/Hz，符合上面的讨论。
　　附：5M带宽的WCDMA的chip
　　rate = 3.84M/s，即码率为3.84M*2 = 7.68MBaud，带宽5M，所以带宽利用率为7.68MBaud/5MHz =
　　1.536Baud/Hz，略逊于LTE的1.68Baud/Hz【注：WCDMA的脉冲成型采用滚降系数为0.22的升余弦滤波器，奈奎斯特带宽为3.84M】