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基于载流导线循迹智能车的数学模型

时间:10-12 来源:电子产品世界 点击:

地面上铺设载流导线,通以一定频率和幅值的周期性交变电流,作为引导智能车行进的迹线。用大电感作为传感器,配以一定的电路,获得相应的电压。这是一种较新的循迹方式,在第五届"飞思卡尔"杯全国大学生智能车竞赛上出现。目前有两种主要的迹线信息解算方法,一是通过整流滤波之后查表,使电压与距离对应;二是用一排密集电感作为传感器,靠近迹线的电感显高电压,远离迹线的显低电压。由于大赛之前尚无精确的数学模型求解迹线信息,本文将试图向这方面努力。

  1.传感器排布与赛道信息解算的数学模型

  假设载流导线无限长直,电流为()it 。不妨假设电感为理想电感,即空间尺寸可忽略不计,电感铁芯工作在线性区[1]。

  空间一点某一方向上的磁感应强度为()Bt,由毕奥--萨伐尔定律[2]得其中K由空间位置决定,不妨将K称为空间函数,电感不同的放置方式,对应不同的K。若迹线为无限长直的导线,则相同的电感放置方式下,K的表达式不变。

  设()et为电感的开路感应电动势,由法拉第电磁感应定律[3]得:
  ,其中LK由电感的参数决定,是常数。

  将进行拉氏变换得其中

进行拉氏变换得其中

将电感到A/D转换之间的电路设计为线性时不变系统,设其传递函数


在小车起跑前测得


在小车起跑后测得


式(2)除以(1)得


发现电路的传递函数和电流等与空间函数无关的项都被消去了。对于不同的电感排布方式,只要先得出空间函数K,然后运用该方法就能得出其对应的迹线信息解算表达式。这也正是本文要做的工作。为方便起见,将该方法称为"法一"。



这种方法有几个优点:一是表达式与电路传递函数无关,即与电路无关,这就使得电路设计从理论上讲极其简单,只需满足线性时不变;二是表达式与赛道电流无关,这就使得该方法推导的模型从理论上讲具有极强的适应性;三是该方法推导的模型运用起来简单高效。

  1.1 双一电感测距

  如图1,两电感A和B水平放置,二者轴线与x轴平行,相距l,离地高度h。记

下面将用到文献[4]的方法,以避免开根号。

  A电感的变量用下标A表示,B电感的变量用下标B表示。

  为了方便运用法一,不妨令

  显然 , 易得,

  那么,其中

不妨假设θ较小,可以忽略。则


同理得 22BBBKUhl=+,其中

联立(3)、(4)、(5),解得注意Al是有正负的。

  实验数据如表1。所有单位均为标准点位,电压是示波器读取的峰峰值,误差是未取绝对值的相对误差。

  结论:除第二组外,其他组的误差都小于10%,大部分小于5%,且与赛道无明显关系。说明该数学模型正确,同时也佐证了法1.1的正确性。

  1.2 双水平正交电感测距、测方向

  如图2所示,两电感xL和xL相互垂直。图3为俯视图,xL和yL置于原点o,xL和yL的轴向分别与x和y轴重合,o距地面高度为h,导线与y轴夹角为γ。xL和yL的相关变量分别以下标x和y表示。注意,xL和yL各自的电路传递函数是不相同的,下文会将其校正。

  易得xL和yL的空间函数分别为


令00γ≠,运用法一可得

为了消除两个电路的差异,对(6)两边同乘以得:


对(7)两边同乘以0()yUs得:


记向量。那么U

  ??的方向为,正是载流导线的水平垂直方向,我们用它来判断载流导线的走势;而由

1.3 单竖直电感测距

  如图4,电感竖直放置,离地高度h。易得

运用法一得其中

对于上述三个模型,我们可以测量一些有代表性的特征量。值得注意的是U0(s)好比一个基准时钟,是有相位的,但U0(s)和U(s)的相位必然相差0度或180度,具体原因笔者尚不清楚。若电路的输出电压无鉴相功能,如峰峰值、有效值、整流滤波输出值等只有正值,1.1的模型不需担心该问题,因为小车行进过程中U0(s)和U(s)始终同相,1.2则需通过其他算法判断导线在小车的左还是右,γ是正还是负,1.3也无法判断迹线在左还是右。

  两个结论

  以上推导是建立在无限长直导线的基础上的,但赛道是任意形状的,且电感会随着小车摆动,在这种情况下,上述几个数学模型是否还能适用呢?请看以下两个结论。

  结论一:有限长直导线的K也是常数,故对于有限长直导线的循迹,仍可使用上述模型,当然精度会有所下降。对于任意形状的导线,导线可看作无数段有限长直导线的叠加[5],所以可以使用上述模型。

  结论二:对于任意放置的电感,从导线电流到电路输出电压之间的传递函数,只有K不同,其他部分是一样的。所以小车行进过程中即使有摇摆,仍可使用上述模型。

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