关于多级低通有源滤波器的增益及Q值排序的深入思考

，我们就可以通过分析输出时间波形得出 dV/dt 峰值。有意思的是，其结果在文献中很难找到，不过从参考资料 4（等式 55），我们可以得到一个简单的近似等式，如等式 1 所示。

等式 1

如果我们知道理想的输出端完整步长以及第二级的 F-3db，这个近似等式可以帮助我们很方便地得出 dV/dt 峰值。我们可以通过下面的式子从目标滤波器极点得到F-3dB

等式 2

根据设计 1 和设计 2 所举的例子，每一级 F-3db 的值计算如表 1 所示。（记住我们保持 Q 值和 Fo 排序不变，只是简单地分配了不同的增益，使滤波器内部的阶跃幅度不同）

表 1.

那么我们再来观察 Q 值最高的一级，这一级通常也有最高的 Fo，也就是最大的带宽。如果我们能够推测出固定的最大输出 Vpp 标准，就可以让等式 1 的结果落在更小的范围内。最简单的方法是随 F-3db 带宽的增加，降低所需的 VSTep。设计 1 实际上就是通过在输入级使用更低的增益做到了这一点。而设计 2 显示了没有降低较高 Q 值级（图 6）所需的 Vstep  得到的压摆率结果（如图 6 所示）。图 6 显示的设计 1 和设计 2 的压摆率是以 4Vpp 的最终输出目标摆幅为条件得出的。具体是使用等式 1 计算出该输出条件下的压摆率（使用 2 倍乘数以得到额外裕量），然后用该级标称摆幅除以该级标称增益得出由前一级进入最后一级的步长，最后使用该摆幅和该级的 F-3db 计算所需的压摆率，依次类推回第一级。

每个 Q 值较高的级都会在阶跃响应中产生相当大的过冲。设计 1 通过让有较高过冲的级的摆幅较低，并从输入到输出逐步增大阶跃摆幅来避免削波。设计 1 的阶跃响应仿真运行结果（参考资料 1）得出的阶跃响应如图 7 所示。该图展示了通过滤波器每一级的输入和输出电压。注意摆幅的逐渐增大和最终输出级极低的过冲。这是这种类型滤波器形态的典型特征。其在 +/-2.5V 双极电源下产生 +/-2V 双极性摆幅。

图 7. 设计 1 的阶跃响应仿真

相比之下，设计 2 的阶跃响应在级间出现了削波，导致非常不理想的仿真响应结果。这是因为第一级的增益较大导致设计中较早出现了大摆幅。如图 8 所示，仿真中宏模型正确的预计到第二级的输出会出现削波，而最后一级将其干净地滤除了。

图 8. 设计 2 的阶跃响应出现削波

这明显比设计 1 的效果差。虽然这是个有些极端的例子，但这也确实说明了用最后一级增益来降低级间削波风险的重要意义。

多级滤波器 Q 值排序对噪声增益峰值的考虑

对曾经测量过 SKF 滤波器输出噪声频谱的人来说，都会有些惊讶地发现噪音峰值有多么高。SKF 滤波器的一项最不为人注意的特性是其高峰值噪声增益在某种程度上可以通过认真选择电阻值来减轻。

运算放大器线路的"噪声增益"指输出电压的分压比与差分输入电压比值的倒数。这也给出了运算放大器自身的输入噪声电压到输出端的增益的频率响应。同样它还是运算放大器开环增益与该噪声增益的比，即 SKF 滤波器内部通带频率上的环路增益。这是极为有用的因子，它说明环路增益越大，谐波失真越低。因此，出于多种原因考虑，应了解并尽力降低 SKF 的噪声增益峰值。

等式 3 所示的是图 1 二阶低通 SKF 滤波器的噪声增益拉普拉斯传递函数的基本形式。分子是一个二次多项式，实数零点分布在较宽的范围内（一个小于 ω0，一个大于 ω0），而分母的极点是滤波器需要的极点。这个分母的表达式实际上是导入增益元件前的无源2 R和2 C电路的极点等式（将图 1 中的放大器从电路中去除，让 C2 接地，就可以得到 C2 之上的从输入到输出端的传递函数，而这个表达式的极点就是 SKF 噪声增益表达式的分母）。

等式 3 噪声增益à

分母等式与所需的滤波器响应一致。如果我们在分母的线性系数中用 Ko/R2C2 项来做替代，然后按滤波器指标项重写等式，我们会发现实际上我们在噪声增益响应方面没有多少裕量。

等式4  滤波器指标项的噪声增益à

除 1/R2C2 极点外，该等式中的每一项都已经被所需的滤波器形态、DC 增益以及 Ko 决定了。这种现象在某种程度上可以用来降低噪声增益峰值，但噪声增益峰值主要还是受控于所需的滤波器 Q 值。简单地说，最好让 SKF 滤波器的 R1/R2 值大致处于 0.15 至 0.7 之间。使该比例尽量接近 0 从数学上来说是准确无误的，这样可以减少噪声增益峰值，但 R1 为 0 又会带来其它问题。

所以噪声增益在频率范围内始于 Ko，终于 Ko。在 ω0 附近，由于极点等式反映的所需的滤波器形态（Q >.707 会在所需的频率