模拟电磁波和周期性结构

我们经常想要模拟入射到周期性结构中的电磁波（光、微波），例如衍射光栅、超材料，或频率选择表面。这可以使用COMSOL产品库中的RF或波动光学模块来完成。两个模块都提供了Floquet周期性边界条件和周期性端口，并将反射和透射衍射级作为入射角和波长的函数进行计算。本博客将介绍这类分析背后的概念，并将介绍这类问题的设定方法。

场景

首先，让我们来考虑代表周期性重复晶胞的自由空间平行六面体，平面波沿一个角度入射到其上，如下图所示。

图、平面波经过周期性重复晶胞的图示

入射波矢k在全局坐标系中有三个分量，其大小分别是：k_x，k_y，和k_z。该问题可通过在域侧面使用周期性边界条件，并在顶部和底部使用端口边界条件来模拟。该问题设定最复杂的地方是定义入射波和出射波的方向和偏振。

定义波方向

虽然COMSOL软件非常灵活，支持对基矢坐标系的任意定义，但在本博客中，我们将选定一个坐标系并始终使用它。入射光的方向由两个角度定义，α₁和α₂；以及两个矢量，n为模拟空间中向外指向的法向，a₁为入射面的一个矢量。我们这里所选择的约定将a₁与全局x轴对齐，将n与全局z轴对齐。因此，入射波的波矢与全局z轴之间的夹角为α₁，即入射仰角，其中-π/2，α₁，意味着垂直入射。入射波矢和全局x轴之间的夹角为入射方位角α₂，位于范围-π/2之内。由该定义，α₁和α₂的正值表示波沿着x轴和y轴正向传播。

如要使用入射方向的上述定义，我们需要指定a₁矢量。这可以通过选定一个周期性端口参考点来完成，它必须是入射端口的角点之一。软件使用从该点出发的面内边来定义两个矢量，a₁和a₂，且a₁。在下图中，我们可以看到满足这一条件的四组a₁和a₂。因此，俯瞰z轴及平面时，入射面端口上的周期性端口参考点应为x-y平面左下角的点。通过选择此点，a₁矢量变得与全局x轴对齐。

图、周期性重复晶胞上的周期性端口参考点图示

既然选择了周期性端口参考点而在入射面定义了a₁和a₂，那么模拟域中出射面的端口也必须定义。法向矢量n指向相反的方向，因此必须调整所选择的周期性端口参考点。四个角点都无法提供与入射面矢量对齐的a₁和a₂，因此我们必须选择这四个点之一，并调整α₁和α₂的定义。通过在出射面选择与入射面所选定点完全相反的周期性端口参考点，并将π/2旋转α₂，a₁的方向被旋转到a₁，指向与入射面a₁相反的方向。由于这种旋转，模拟域中出射面的α₁和α₂的正负号发生了转换。

图、周期性重复晶胞中出射面的周期性端口参考点图示

下一步，考虑一个代表介电半空间的模拟域，在入射和出射端口面之间存在折射率差异，这会使波方向发生改变，如下图所示。根据斯涅耳定律，我们知道折射角为β。这使我们可以计算出射端口处的波矢方向。此外，请注意，即使有额外的介电层夹在两个半空间之间，这种关系也仍然成立。

图、斯涅耳定律图示

总结一下，要定义通过一个晶胞的平面波方向，我们首先需要选择两个点，即周期性端口参考点，它们在入射面和出射面的位置完全相反。这些点定义了矢量a₁和a₂。因此，入射面的α₁和α₂可以相对于全局坐标系定义。在出射面上，方向角变为：α_1,out和α_2,out。

定义偏振

入射平面波的偏振可以是二者之一，即电场或磁场与x-y平面平行。所有其他偏振，例如圆形或椭圆形，都可以由这二者的线性组合建立。下图显示了α₂，且磁场与x-y平面平行的情况。当α₂时，全局坐标系中的入射和出射端口的磁场大小是(0，1，0)。由于光束旋转使α₂，磁场大小变为sin(α₂₎。对于正交偏振，可以用类似方法定义入射面的电场大小。在出射端口，x-y平面中的场分量可以用相同的方式定义。

图、周期性重复晶胞中磁场与x-y平面相平行的偏振图示

到目前为止，我们已经看到了如何定义传播经过介电界面周围晶胞的平面波的方向与偏振。对这类问题，您可以看到案例库中Fresnel方程模型的结果与解析解一致。

定义衍射级

接下来，让我们来检查一下把周期性结构引入模拟域之后会发生什么变化。考虑一个入射到下图周期性结构中、且α₁，的平面波。如果波长相对光栅间距足够短，就可能会存在一个或多个衍射级。要理解这些衍射级，我们必须观察由矢量n和k所定义的平面，以及由矢量n和k所定义的平面。

图、平面波衍射图示

首先，沿着由n和k所定义平面的法向观察，我们能看到零阶透射传输模式的存在，其方向如前所述按照斯涅尔定律定义。零阶反射分量也存在。结构中也可能存在一些光