由DAC谐波频谱成分重构其传递函数

所有DAC都会表现出一定程度的谐波失真，谐波失真是用来衡量当DAC输入端采用一个理想的均匀采样正弦波的数值序列驱动时，其输出端能在多大程度上再现这个理想的正弦波。由于DAC的瞬态和静态特性并不理想，因此输出频谱将会包含谐波成分。DAC的瞬态输出特性包括压摆率限制、非对称上升和下降时间、有限建立时间。静态特性与传递函数偏离直线的程度有关。本文将重点讨论静态特性，并阐述一种由输出频谱中观察到的谐波成分导出DAC传递函数的方法。分析中假设，传递函数而非瞬态输出特性是所观察到的谐波失真的主要来源。此假设在低频时成立。

DAC传递函数

图1显示一个理想的DAC传递函数，它是一条斜线，y=mx+b。数字输入位于x轴，模拟输出位于y轴。

图1. 理想的DAC传递函数

x轴上的目标范围是从左边的最小码(A)到右边的最大码(B)。y轴上的目标范围是从底部的最小输出值(C)到接近顶部的最大输出值(D)。定义理想传递函数的斜率(m)和y轴截距(b)的方程式用边界值A、B、C、D表示。信号g(t)代表一个无失真的正弦波，由A至B范围内的数字输入组成，时间轴向下。信号u(t)代表模拟输出，其值在C至D范围内，时间轴向右。输出信号是通过传递函数反射的输入信号。请注意，输出信号是将g(t)上各点链接到u(t)上相应点的结果。图1显示在特定时间点t=tk的传递操作例子，该时间点确定输入信号上的点g(tk)。传递函数进而将g(tk)链接到输出信号上的相应点u(tk)。对于理想的线性传递函数，u(t)与g(t)成比例关系。请注意，g(tk)对应于x轴上的点xk，它通过传递函数反射至y轴上的点yk。借助关于耦合点集(g(tn),u(tn))的已有知识，可以确定传递函数上的相关点(xn,yn)。因此，通过输入信号g(t)上的点与输出信号u(t)上的点之间的关系，完全可定义传递函数。

对于N位DAC，边界值A和B取特定值，即A＝0且B＝2N–1。而为了方便起见，指定边界值C和D为C＝A且D＝B。这样意味实际DAC输出信号的比例和偏移，因而其峰峰值范围为0至2N-1。利用A、B、C、D的这些值，因为斜率m＝1且截距b＝0，所以理想传递函数可简化为y＝x。

到目前为止，讨论的重点还是理想的DAC传递函数，但现在我们有了可以处理失真DAC传递函数f(x)的工具，如图2所示。需要注意的主要特点是：传递函数不再是直线y＝x，而是一个形状函数f(x)；图中随意以平滑弧形来表示。f(x)对输出函数u(t)的影响也同样重要。理想输入g(t)通过传递函数f(x)反射，产生失真输出u(t)。与现成DAC的传递函数相比，图中所示的弧形传递函数较为夸张，仅为加强说明效果而已。现代DAC的传递函数与理想的直线几乎没有偏差，但即使最微小的偏差也会导致输出频谱中出现谐波杂散。

图2. 失真的DAC传递函数

能否成功重构DAC传递函数，取决于是否能通过已知的g(t)和u(t)确定各点(xk,f(xk))。这一过程分为两步：首先采用一个代表理想采样正弦波的数值序列驱动DAC输入，利用频谱分析仪测量DAC输出，并记录基波信号和尽可能多谐波成分的幅值；然后将测得的谐波幅值转换为特定形状的传递函数。如果操作得当，将g(t)代入f(x)仿真u(t)将产生与测量结果相同的谐波失真值。

第一步：测量DAC谐波

第一步需要一个输入序列，用来代表一个以等距时间间隔采样的理想正弦波周期。目标是重构DAC传递函数，因此从0到2N–1的每个DAC码必须在输入信号中至少出现一次。输入序列需要2N以上的采样点才能以等距间隔使用每个DAC码，实际上至少需要2N+3个采样才能保证每个码都出现。下式可产生2K DAC码的理想正弦序列(K ≥ N+3)。函数round{x}将x舍入为最近的整数。

其中n=0,1,2,3, ... 2K-1

此方程式假设DAC将标准二进制格式的数字输入字解码为0至2N–1范围内的无符号整数。对于偏移二进制或二进制补码DAC，必须调整gn以表示负值。

数值序列(gn)以采样速率fs重复提供给DAC，因此DAC输出频谱含有频率f0=fs/2k的基波信号。谐波出现在2f0、3f0、4f0和f0的其它整数倍。由于DAC输出频谱具有采样性质，因此这些谐波的幅度受sin(x)/x响应的限制。不过，f0与fs相比微不足道，因此sin(x)/x响应实际上是平坦的，可忽略不计。例如，对于一个8位DAC，K ≥ 11且f0 ≤fs/2048，100次谐波的sin(x)/x将不超过0.39% (0.034 dB)。

为了准确重构传递函数f(x)，需要根据谐波数(h)集尽可能记录更多谐波的幅值。这些整数从h＝1（基波频率）至h=H，其中H表示取测量幅值的最高谐波数。例如，对于10次谐波的测量，H＝10，该谐波数集为h={1, 2, 3, .. 10}。

然后，将各测量谐波的幅值(M)与其谐波数关联。例如，M1是1次