FFT、PFT和多相位DFT滤波器组瞬态响应的比较

　　引言

　　滤波器组频率响应的研究是一个非常复杂的课题。这方面的大多数文章只研究稳定状态下的响应，事实上，雷达和其它突发方式的信号具有瞬时的特性。因此，了解滤波器组的瞬时性能是非常重要的。一般而言，频率分辨特性越好，稳定下来需要的时间越长。这是因为越是陡峭的滤波器，其需要的抽头就越多、冲激响应时间越长。因此，在稳定期间，滤波器抽头没有充满，相邻信道的频率响应实际上比非加权的FFT滤波器组还要差。

　　本文将对FFT和多相位DFT滤波器组进行比较，包括稳定状态和瞬时条件的情况。同时也简要地分析了过抽样和所谓的"最小相位"滤波器的内容。

　　滤波器组稳定状态下的频率响应

　　频率响应的比较

　　众所周知，管道FFT的有效滤波器响应是Sinx/x (Sinc)函数，对很多应用，它不能提供足够的相邻信道抑制能力。使用简单的窗口函数，比如Hanning, Kaiser, Blackman-Harris等，可改善滤波器的旁瓣抑制，代价是主瓣宽度减小。通过设计适当的滤波器组，比如PFT和多相位DFT,可以改善频率响应特性。

　　有效噪声带宽

　　滤波器性能的另一个重要参数是有效噪声带宽(ENB)。表1给出了几种滤波器组的比较。

　　由表1可知，Blackman-Harris窗口加权的FFT具有很好的旁瓣抑制，但在信噪比(S/N)上损失超过3dB ；而一个8抽头多相位DFT(如下面要说明的一个8倍变换长度的窗口)具有良好的旁瓣抑制和低的有效噪声带宽，信噪比损失只有1dB 。

　　一般时域考虑

　　时域抽样窗口

　　对简单的窗口抽样，窗口中的抽样点数目等于它自身的变换长度。为了获得更好的滤波效果，需要使窗口中的抽样点数目大于变换长度。理论上，窗口的大小可以为任意长度。在多相位DFT当中，它通常是变换长度的整数倍(2x，3x等)，但是在WOLA实现中，它可以是任意长度。比方说，一个1024子带的滤波器组可能需要4096个输入抽样(4倍帧长度)作为第一个全输出的帧。对于PFT滤波器组，需要的抽样点数目等同于级联滤波器的冲激响应，但实际效果类似于获得第一个全输出帧需要的抽样点数目，远超过了帧的长度。

　　过抽样

　　影响处理吞吐量速率的另一个因素是输出滤波器需要的过抽样程度。即使获得临界抽样(抽样速率正好等于奈奎斯特速率)也需要交迭处理。使用上面的例子，形成1024子带的第一个全输出帧需要4096个抽样。要实现临界抽样就意味着1024子带的下一帧在时间上必须与前一帧相邻，并且输出抽样速率必须等于输入抽样速率。这可以通过下一组4096个抽样点的起始延时1024个抽样点、并进行4次交迭处理来实现。要实现过抽样，需要增加交迭的次数。再用以上的例子，2倍的过抽样将需要4096个抽样的延时，而通过8次交迭处理，仅需512个抽样即可满足上述要求。PFT通常采用2倍的过抽样。

　　过抽样的程度由新抽样的数目M(每一次新变换的参数)决定。M的值越小，过抽样因子越大。

　　瞬态分析

　　一般参数

　　尽管多相位、WOLA 或 PFT滤波器组在稳态条件(如稳定的信号条件和所有的滤波器抽头充满)给出了很好的相邻信道抑制性能，瞬态响应却是另外一种情况。在以下的讨论中，使用的一般参数是：

　　子带的数目 = 1024
　　输入抽样速率=102.4 MS/s(复数)
　　输出抽样速率 = 204.8 MS/s (2倍过抽样)
　　多相位抽头的数目=5(等同5120点窗口)
　　滤波器阻带抑制 = -85 dB
　　滤波器通带纹波 = 0.2 dB(峰-峰)
　　滤波器交迭 = 75%
　　最后一个参数用来测量滤波器的截止率。滤波器被设计成子带的边缘内都是平坦的，然后进入阻带，与相邻子带的宽度有75%的交迭。

　　瞬态的结果由一个正弦波输入的阶梯函数产生，频率范围从中心频率到半个子带的偏移。它给出了对于FFT的最差的频谱泄漏。

　　下面将介绍归一化的功率谱(10*Log10{I2+Q2})，描述在2倍过抽样速率(在这种情况下速率是204.8MS/s)情况下的管道输出。一个单独的1024抽样的帧包含了从蠪s/2 到 +Fs/2的交织频率子带，这里Fs是输入复数抽样速率。

　　FFT瞬态响应

　　图1给出了非加权FFT的瞬态响应。图中没有表示在第一次输出前需要采集1024个抽样和实际硬件处理带来的任何其它延时的"废弃"时间。因为它是2倍过抽样，第一个1024点的帧还没有达到稳定状态。这可以由以下的事实说明：第一个输出帧在5ms内产生(1024个点以204.8MS/s 的抽样速率产生)，而输入抽样速率是102.4MS/s ，这意味着只有512个抽样是有用的(剩余的为0)。

图1 2倍过抽样、非加权、1024子带管道FFT瞬态响应

　　多相位DFT瞬态响应

　　图2给出了5抽头多相位DFT的瞬态响应。很显然，与FFT相比瞬态响应的时间要长，并且直到第10帧才完全达到稳定状态。直到第5帧，有效的滤波器频率响应还不如非加权的FFT好。这是因为滤波器的抽头只是半充满。达到全稳定状态花费了10帧的时间(5抽头乘以过抽样因子)。