仪器和测量技术中的DSP

EP一个信号是由其FT所得频谱上各分量所代表的正弦波合成的。在这个意义上，我们把表示这些正弦波一组正交的正弦函数称为傅立叶变换的正交基函数(也可以用复函数的形式表示)。研究表明，不仅正弦函数可以作为正交变换的基函数，而是只要满足正交完备的函数系，都可以作为基函数，对信号进行正交变换分解分析(正弦函数自然是正交完备的函数系)。因此，我们把这些变换笼统地称为"正交变换"。实用中最使人感兴趣的非正弦正交函数有雷德梅彻(Rademacher)函数、哈尔(Haar)函数和沃尔什(Wald)函数等。一段时期以来，用得最多的当属沃尔什函数，它是由沃尔什在1923年完备化的雷德梅彻函数。沃尔什函数是一组矩形波，其取值为1和-1，非常便于计算机运算。沃尔什函数有三种排列或编号方式，即按列率排列或沃尔什排列、佩利(Paley)排列和阿达玛(Hadamard)排列。这三种排列各有特点.而以阿达玛排列最便于快速计算。采用阿达玛排列的沃尔什函数进行的变换称为沃尔什-阿达玛变换，简称WHT或直称阿达玛变换。由于离散正交变换的运算常以矩阵乘法的方式完成，而沃尔什-阿达玛函数组的矩阵形式只有1和-l两种元素，同时这种阿达玛短阵的规律性非常强，可以用简单的算法产生，所以WHT的快速算法很容易实现。现在，这种快速算法及其软件已经有很成熟的商品。当然，在使用这种变换时我们必须记住，它所得出的谱是以短形波为基础的。

　　另一种常用的正交变换是离散余弦变换DCT。已知，傅立叶变换的基函数是正弦函数，即其每一个分量是一个正弦波(或一个复向量)分量的次数决定该正弦波的频率，而各个分量的相位则构成信号的相位谱。也就是说，一个信号的傅立叶谱包括两部分，一是幅度特性，一是相位特性;或者作为复向量的实部余弦分量和作为虚部的正弦分量。换句话说，仅仅幅度特性谱并不能完整地代表该信号，而必须补克相位特性才是完整的。这当然既使表示和运算处理复杂化，又使表示信号的数据量加大。经过研究表明，如果将信号坐标的原点作适当的偏移，就可以使变换后的结果，只存在正弦波的正弦分量或余弦分量二者中的一个。这就是正弦变换或余弦变换。信号处理中的离散余弦变换DCT，就是将信号坐标的原点左移半个采样间隔得到的。DCT具有很优良的信息特性.且有有效的快速算法，所以在制定MPEG标准时，将它定为图像压缩编码的标准变换。

　　这一节的最后，顺便提一下离散K-L(KarhunenLover)变换。KLT通常被称为最佳变换，因为采用KLT的滤波器和信息压缩编码失真最小。但由于KLT的变换基函数是不定的，而且至今没有快速算法，所以只在特殊需要的场合才使用。

关于小波分析

　　我们注意到上述所有这些变换或分析，其对象都是平稳信号甚或周期信号。以傅立叶分析来说，它的原始出发点是傅立叶级数，其数学定义表示，任一非正弦周期函数(信号)可以分解为元穷多个频率为其基本频率整倍数的正弦波(及一直流分量)之和。而对于傅立叶变换的积分，则是将其积分周期拓展至无穷形成的。实际上，频率这一概念正是傅立叶在此工作中提出来的。而且这种把一个事物从一个"域"变换到另一个"域"，从而从新的角度或尺度对其进行分析或表示的这种分析方法，在科学史上具有划时代意义的创造，正是傅立叶提出来的。但是，人们也早就发现，像傅立叶变换之类的变换或分析工具，只能用来处理确定性的平稳信号，对于突变的非平稳信号则不能完成满意的分析;而且傅立叶分析得出的是信号的整体频谱，却不能获得信号的局部特性。因此，在20世纪80年代出现了加窗傅立叶变换。加窗傅立叶变换是一种局域化的时-频分析方法，即将传统的傅立叶变换的时域(或空域)至频域的映射分析用加窗的方式结合起来，对局部的时间段(或空间间隔)进行频域分析，加窗傅立叶变换部分地解决了短时信号的分析问题。但它存在许多本质上的缺陷，如对短时高频信号，固然可以用缩小窗口宽度和采样间隔的办法适应频率的提高，但窗口太窄会降低频率分辨率，而且对低频分量也不适应。因此，这就导致人们对新的变换(分析)方法的探求。小波(Wavelet)分析就是在这一背景下出现并很快得到应用和发展的。

　　现在简单介绍小波分析的概念。

　　设给定连续信号f(t)。考虑到实际信号的分辨率总是有限的，从而可以将f(t)表示为以下阶梯函数

式中n为整数，表示采样点，Cn0=f(n)为样本值，而

为其基函数或尺度函数。这时，若将采样间隔加倍，则样点数减半，而信号表示为

这样一来，信号的数据量压缩了一半。这就是所谓二分法。考察二分前后两个信号的偏差

就是一个小波函数.

有人解释，"