傅里叶-->短时傅里叶变换-->小波变换的方法

（看，这两种尺度能乘出一个大的值，所以信号包含较多的这两个频率成分，在频谱上这两个频率会出现两个峰）

以上，就是粗浅意义上傅里叶变换的原理。

如前边所说，小波做的改变就在于，将无限长的三角函数基换成了有限长的会衰减的小波基。

这就是为什么它叫"小波"，因为是很小的一个波嘛~


从公式可以看出，不同于傅里叶变换，变量只有频率ω，小波变换有两个变量：尺度a（scale）和平移量 τ（translation）。尺度a控制小波函数的伸缩，平移量 τ控制小波函数的平移。尺度就对应于频率（反比），平移量 τ就对应于时间。

当伸缩、平移到这么一种重合情况时，也会相乘得到一个大的值。这时候和傅里叶变换不同的是，这不仅可以知道信号有这样频率的成分，而且知道它在时域上存在的具体位置。

而当我们在每个尺度下都平移着和信号乘过一遍后，我们就知道信号在每个位置都包含哪些频率成分。

看到了吗？有了小波，我们从此再也不害怕非稳定信号啦！从此可以做时频分析啦！

做傅里叶变换只能得到一个频谱，做小波变换却可以得到一个时频谱！

↑：时域信号

↑：傅里叶变换结果


↑：小波变换结果

小波还有一些好处：
1. 我们知道对于突变信号，傅里叶变换存在吉布斯效应，我们用无限长的三角函数怎么也拟合不好突变信号：

然而衰减的小波就不一样了：

2. 小波可以实现正交化，短时傅里叶变换不能。

以上，就是小波的意义。

但 是真正理解透小波变换，这些还差得很远。比如你至少还要知道有一个"尺度函数"的存在，它是构造"小波函数"的关键，并且是它和小波函数一起才构成了小波 多分辨率分析，理解了它才有可能利用小波做一些数字信号处理；你还要理解离散小波变换、正交小波变换、二维小波变换、小波包……这些内容国内教材上讲得也 很糟糕，大家就一点一点啃吧~有问题欢迎私信我。水平有限，但一定帮助。

1. 关于海森堡不确定性原理
不 确定性原理，或者叫测不准原理，最早出自量子力学，意为在微观世界，粒子的位置与动量不可同时被确定。但是这个原理并不局限于量子力学，有很多物理量都有 这样的特征，比如能量和时间、角动量和角度。体现在信号领域就是时域和频域。不过更准确一点的表述应该是：一个信号不能在时空域和频域上同时过于集中；一 个函数时域越"窄"，它经傅里叶变换的频域后就越"宽"。
如 果有兴趣深入研究一下的话，这个原理其实非常耐人寻味。信号处理中的一些新理论在根本上都和它有所相连，比如压缩感知。如果你剥开它复杂的数学描述，最后 会发现它在本质上能实现就源于不确定性原理。而且大家不觉得这样一些矛盾的东西在哲学意义上也很奇妙吗，世界观感觉就此被改变了。。

2. 关于正交化
什么是正交化？为什么说小波能实现正交化是优势?
简单说，如果采用正交基，变换域系数会没有冗余信息，等于是用最少的数据表达最大的信息量，利于数值压缩等领域。JPEG2000压缩就是用正交小波变换。
比如典型的正交基：二维笛卡尔坐标系的（1,0）、（0,1），用它们表达一个信号显然非常高效，计算简单。而如果用三个互成120°的向量表达，则会有信息冗余，有重复表达。
但是并不意味着正交一定优于不正交。比如如果是做图像增强，有时候反而希望能有一些冗余信息，更利于对噪声的抑制和对某些特征的增强。

3. 关于瞬时频率
原问题：图中时刻点对应一频率值，一个时刻点只有一个信号值，又怎么能得到他的频率呢？
很 好的问题。如文中所说，绝对意义的瞬时频率其实是不存在的。单看一个时刻点的一个信号值，当然得不到它的频率。我们只不过是用很短的一段信号的频率作为该 时刻的频率，所以我们得到的只是时间分辨率有限的近似分析结果。这一想法在STFT上体现得很明显。小波等时频分析方法，如用衰减的基函数去测定信号的瞬 时频率，思想也类似。

4. 关于小波变换的缺点
这要看和谁比了。
A.作为图像处理方法，和多尺度几何分析方法（超小波）比：
对于图像这种二维信号的话，二维小波变换只能沿2个方向进行，对图像中点的信息表达还可以，但是对线就比较差，这时候ridgelet（脊波）, curvelet（曲波）等多尺度几何分析方法就更有优势了。
B. 作为时频分析方法，和HHT比：
相比于HHT等时频分析方法，小波依然没脱离海森堡测不准原理的束缚，某种尺度下，不能在时间和频率上同时具有很高的精度；以及小波是非适应性的，基函数选定了就不改了。
知识有限，暂时想到的有这些。