控制系统的时域分析法--二阶系统的暂态响应

这一近似函数形式是根据下述条件直接得到的，即原来的函数C(s)/R(s)与近似函数的初始值和最终值，两者是完全相同的。

对于近似传递函数C(s)/R(s)，其单位阶跃响应可表示为

其时间响应c(t)为

在过阻尼情况下，二阶系统的单位阶跃响应是随时间推移而单调增长，最后在t→∞时趋于稳态值，所以最大超调量是零，调整时间可以用近似的单位阶跃响应估算，如借用一阶系统单位阶跃响应的性质，可以认为响应达到稳态值的95%所需的调整时间

工程上，如果ζ》1.5时，使用上述近似式已有足够的准确度了。

当系统为欠阻尼情况下，即0 ζ1时，二阶系统阶跃响应的上升时间tr、峰值时间tp、最大超调量Mp的计算公式按式（3-13）可表示如下。

上升时间tr 令c(t)=1，代入式（3-13）中，即可求得tr。这时有

或

所以

（3-14）

由上式可见，如欲减小tr，当ζ一定时，需增大ωn ，反之，若ωn一定时，则需减小ζ。

峰值时间tp 出现第一个峰时，单位阶跃响应随时间的变化率为零。为求tp，可将式（3-13）对时间t求导，并令其为零。于是得

由此可知：

n=0、1、2、……

到达第一个峰值时应有

故得

（3-15）

最大超调量Mp 最大超调量发生在t=tp，因此，令式（3-13）中的t=tp，并将tp值代入，即得以百分比表示的超调量

（3-16）

调整时间ts 对于欠阻尼二阶系统，暂态响应可由式（3-13）求得为

曲线 ，是系统对单位阶跃输入信号的暂态响应曲线的包络线，响应曲线c(t)总是包含在一对包络线之内，如图3-9所示。包络线的时间常数为1/(ζωn)。这样，当采用5%允许误差时，有

1+=1.05

由上式得

当0 ζ 0.8时，则有

当采用2%允许误差时，则可推导得出

3.5.3二阶系统的脉冲响应

当输入信号r(t)为单位脉冲函数时，相应的拉普拉斯变换为1，即R(s)=1。则二阶系统的单位脉冲响应C(s)为

这个方程的拉普拉斯反变换，就是时域响应解c(t)，这时当0≤ζ1时，

c(t)=(t≥0)

当ζ=1时

c(t)=(t≥0)

当ζ>1时

c(t)=(t≥0)

不同ζ时单位脉冲响应曲线见图3-10。对ζ≥1的情况，单位脉冲响应总是正值或在t=∞时为零。这时系统的单位阶跃响应必是单调增长的。

由于单位脉冲响应是单位阶跃响应的导数，所以单位脉冲响应曲线与时间轴第一次相交的点对应的时间必是峰值时间tp，而从t=0至t=tp这一段曲线与时间轴所包围的面积将等于1+Mp（参见图3-11），而且单位脉冲响应曲线与时间轴包围的面积代数和为1。

3-10 图示系统中 ζ=0.6，ωn =5弧度/秒。当系统受到单位阶跃输入信号作用时，试求上升时间tr、峰值时间tp、最大超调量Mp和调整时间ts。

解：根据给定的 ζ和 ωn值，可以求得ωd = =4和 σ=ζωn =3。

1． 上升时间tr

上升时间为：

tr= =

式中β为： 弧度

因此，可求得上升时间tr为：tr= = 秒

2． 峰值时间tp

峰值时间为：

tp= = =0.785秒

3． 最大超调量Mp

最大超调量为：

Mp= = =0.095

因此，最大超调量百分比为9.5%。

4． 调整时间ts

对于2%允许误差标准，调整时间为：

ts= =4/3=1.33秒

对于5%允许误差标准，调整时间为：

ts= =3/3=1秒