在分析或设计系统时,二阶系统的响应特性常被视为一种基准。虽然在实际中几乎没有二阶系统,而是三阶或更高阶系统,但是它们有可能用二阶系统去近似,或者其响应可以表示为一、二阶系统响应的合成。因此,将对二阶系统的响应进行重点讨论。 典型的二阶系统的方框图如图3-6所示,它由一个非周期环节和一个积分环节串联组成,系统的传递函数为 令 则
从上式不难求得闭环系统的极点为 | (3-12) |
式中ζ :阻尼比 ωn:无阻尼自然振荡角频率 振荡角频率ωd的单位本为rad/s,但因弧度本身无量纲,只表示比值的概念。在研究控制系统时习惯上写为s-1,同时也常简称ωd为频率。 由式(3-12)可知,系统极点的实部为σ,它控制着时间响应的暂态分量是发散还是衰减,以及暂态分量随时间的变化率。当σ>0时,暂态响应随时间增长而发散,当σ0时,暂态响应随时间增长而衰减。由于σ=-ζωn,且ωn不可能为负值,所以,又可以看出,当 ζ0时,系统暂态响应将随时间增长而发散,而当 ζ>0时,系统暂态响应才能随时间增长而衰减。 当阻尼比ζ=1时,系统具有两重实极点,于是系统暂态响应中没有周期分量,暂态响应将随时间按指数函数规律而单调衰减。此时称系统处于临界阻尼情况。 当ζ=0时,系统将具有一对纯虚数极点,其值为s1,s2=±jω此时称系统处于无阻尼状态,系统的暂态响应将是恒定振幅的周期函数,并且将 称为无阻尼自然振荡角频率,或简称为无阻尼自然振荡频率。 当0 ζ1时,系统具有一对实部为负的复数极点,系统的暂态响应将是振幅随时间按指数函数规律衰减的周期函数,此时称系统处于欠阻尼状态。 在图3-7中表示出当 为不同值时,相应系统极点的分布与阶跃响应的图形。 (a) ζ>1(左半平面有相异实根)时系统响应 (b) ζ=1(左半平面有相同实根)时系统响应 (c)0 ζ1(左半平面有带负实根的共轭虚根)时系统响应 (d)ζ =0(虚轴上带共轭虚根)时系统响应 (e)0>ζ >-1(右半平面有带正实根的共轭虚根)时系统响应 (f) ζ-1(右半平面有相异正实根)时系统响应 图3-8说明系统极点的位置与ζ 、ωn 、σ及ωd之间的关系。对于标出的一对共轭复数极点ωn是从极点到s平面原点的径向距离,σ是极点的实部,ωd是极点的虚部,而阻尼比ζ等于极点到s平面原点间径向线与负实轴之间夹角的余弦,即 ζ=cosθ 阻尼比ζ是二阶系统的重要特征参量。 3.5.1二阶系统的单位阶跃响应 下面分析过阻尼、临界阻尼和负阻尼三种情况下,二阶系统的单位阶跃响应。 (1) 欠阻尼情况( 0 ζ1 ) 此时 式中 ,ωd频率叫阻尼自然频率。对于单位阶跃输入,C(s)可以写成 为求出上式的拉普拉斯反变换,将上式写成下列形式 其拉普拉斯反变换为 | (3-13) |
由上式可以看出,暂态振荡频率为阻尼自然频率,它是随阻尼比ζ而变化的。这一系统的误差信号,是输入量与输出量之差,即 显然,这个误差信号为一阻尼正弦振荡。稳态时或t=∞时,输入量与输出量之间不存在误差。 如果阻尼比ζ等于零,那么系统的响应变为无阻尼等幅振荡。将ζ=0值代入(3-13),便可得到零阻尼情况下的响应c(t),即 从上式可以看出,ωn代表系统的无阻尼自然频率。即如果阻尼系数减少到零时,系统将以频率ωn振动。如果线性系统具有一定阻尼,就不可能通过实验得到无阻尼自然频率,而只能得到阻尼自然频率ωd,ωd 等于 。阻尼自然频率总是低于无阻尼自然频率ωd。ζ值增大时,阻尼自然频率ωd将减小。如果ζ增加到大于1,系统的响应将变成过阻尼,因而不再产生振荡。 (2) 临界阻尼情况(ζ=1) 如果C(s)/R(s)的两个极点接近相等,则系统可近似看作临界阻尼系统。对于单位阶跃输入量,R(s)=1/s,因而C(s)可表示为 上式的拉普拉氏反变换为: (3) 过阻尼情况(ζ>1) 这种情况下,C(s)/R(s)的两个极点是两个不等的负实数。对于单位阶跃输入量,R(s)=1/s,因此C(s)可以写成 其拉普拉斯反变换为 式中 ,而 ,显然,这时系统的响应c(t)包含着两个衰减的指数项。 当ζ远大于1时,在两个衰减的指数项中,一个比另一个衰减的要快得多,因此衰减得比较快的指数项(相应于较小时间常数的指数项),就可以忽略不计。也就是说,如果-s2与j 轴的距离比-s1要近得多(即|s1|>>|s2| ),那么在近似解中,可以忽略-s1,因为方程中包含s1的项比包含s2的项衰减得快的多,所以-s1对系统响应的影响,比-s2对系统的影响要小得多,因此忽略-s1是合理的。因此可以将C(s)/R(s)近似地表示为 |