基于保角形变换的电磁波导波结构设计
摘要：基于坐标变换的光学变换理论已经提出有好多年了，各种新型电磁器件被提出来，该文结合保角形变换理论设计了一款电磁波波导转接器件，它的材料是非均匀各向同性的，而且比各向异性电磁器件更容易实现，然而它的最大的局限在于这种设计方法必须在离开障碍物后又恢复到原来的空间。
关键词：光学变换；保角形变换；电磁波导波结构
引言
Pendry et al.[1]提出了一个很有趣的想法，这个想法就是用坐标变换（即变换光学）的思想达到调控电磁波的能力。很不幸的是，基于坐标变换的电磁波导波器件大多数的相对介电常数和磁导率往往是非均匀各向异性材料[2][3][4]，这给实现带来了很大的困难。保角形变换是光学变换的一种特例，它在二维情形下可以做到各向同性材料。在保角形变换后，拉普拉斯方程本身成了一个系数，二维亥姆霍兹方程在保角形变换后使得该系数反映在折射率的变化，也就是说在保角形变换后，如果折射率随着系数发生变化，那么满足同样的波动方程，从而达到调控电磁波的能力。在本文中，我们用基于保角形变换理论设计了一款电磁波导波结构，它的材料是非均匀各向同性的，这在实现上降低了难度。
1、保角形光学变换理论
换坐标变换前的空间为w，该空间的折射率为1；坐标变换后的空间为z，该空间的折射率为n，则z空间的折射率：[5][6] n=|dw/dz|，光学理论已经提出好几年了，虽然它的想法很新颖，但是因为根据该想法设计的大多数电磁器件的电参数为非均匀各向异性，很多学者专家不断简化参数，论文参考文献[7]根据对数保角形变换设计了可以转弯的波导转接器件，但是我们认为它并不能达到完美的转接效果，因为空间折射率的截断，必然带来散射，在本篇论文中我们基于共形变换原理设计各向同性非均匀的导波转接器件。虽然光学变换理论在导波结构中的推广已经好多年了，电参数为均匀各向异性的电磁波导波器件也已经实现，基于对数的保角形变换的导波转弯的结构也已经实现，我们认为它不能做到真正的波导转接结构，包括很复多函数在导波结构中很难应用，因为在边界的地方会发生空间折射率的截断，从而达不到完美的转接效果。在本篇论文中，我们就是通过寻找一些可行的设计函数，使得基于保角形变换的这种导波结构变得很可行。但是我们的导波结构因为函数的求解问题，导致波导的转接只能发生在一直前进的情形下，这也是我们本篇论文的局限性。我们通过将中间某个区域弯曲，而离开这个区域导波结构又恢复到原来的情形，在数学上可以表示为：
z=f(w)
(1)
或者为
w=g(z)
(2)
条件（1）和条件（2）只要折射率接近于一的地方截断，而中间在保角形变换后发生弯曲，就可以做到绕过在波导前进方向遇到的障碍物。
2、导波结构具体设计（单位m）
根据上面的要求我们的设计一个函数它的表达式为：
z2=w2+k (3)
(4)
在上面的表达式中我们k=0.03。
图1、w空间到z空间的变换(坐标按着上面的坐标系标注)
图2、保角形变换前H10模Ez分布图(f=4.6GHz)
图3、保角形变换后H10模Ez分布图(f=4.6GHz)
图4、三维情形下保角形变换前后H10模Ez分布图(f=4.6GHz)
图5、三维情形下保角形变换后的折射率分布图
上面三维情况下中间为保角形变换区域，在离开光学变换区折射率接近于一的区域，高度为宽度的一半，而在横截面上与二维情形相同。两边是在折射率接近于一时截断，可以看到进行保角形变换后的可以达到非常好的波导转接结构，因为保角形变换理论是严格的根据麦克斯韦方程推导的结果，而我们只是在折射率接近于一的地方截断，所以这种导波结构只要在原来的空间的矩形波导中可以传输，那么保角形变换后仍然可以非常好的传输。从上面的实行保角形变换和不实行保角形变换对比中可以更加清楚的看出共形变换可以使波导绕过某一个区域，电磁波仍然可以很好地传输，当然，只是局限于矩形波导的H10模，但是在导波通信中矩形波导一直都是用该主模模式，所以这不能算是这种方法的局限性，只要满足方程式（1），（2）两个条件，那么运用当今的计算机技术，可以实现绕过各种形状的导波结构，我们也相信随着计算机的发展，方程的可解性提高以后，我们也可以做到任意的导波结构，因为我们没有优良的计算机，我们希望人们去探索这个问题。我们认为这种方法可以推广到介质波导中，下面这幅图的中间场集中区域和上面二维波导相同，中间的折射率由原空间的2变为现在空间的折射率：