电阻电路的等效变换详细解析
等效变换
等效是电路分析中一种很重要的思维方法。根据电路等效的概念,可将一个结构较复杂的电路变换成结构简单的电路,使电路的分析简化。
等效的概念
【二端电路(一端口电路)】 两端电路具有以下特点:只有两个端钮(a,b)与外部电路相连;进出端钮的电流相同,如图2-2-1所示。二端电路元件,例如电阻元件、独立源、电容元件、电感元件,可视为二端电路的特例,也称二端元件。二端电路也称为一端口电路,一端口电路端口电压、电流的关系称为一端口网络的端口特性或端口VCR。
【等效电路】 两个二端电路,
,如图2-2-2所示,无论两者内部的结构如何不同,只要它们的端口电压、电流的关系( VCR)相同,则称
和
是等效的。两个内部结构不同的电路等效的唯一标准是两者对应端口处的VCR完全一致,即它们对同一任意外部电路的效果完全相同。等效是对外部电路而言的,对于互相等效的两个电路
,
,内部的工作状态是不等效的。等效具有传递性,如果二端电路
和
等效,二端电路
又与
等效,则必有
与
等效。
电阻的串联与并联等效变换
【电阻元件的串联】图2-2-3(a)中,由KVL得
且
由KVL得
令
则
根据上式可以构造一个相应电路如图2-2-3(b)所示,所以图(a)和(b)是等效的,等效电阻等于各串联电阻元件电阻之和。
【电阻元件的并联】图2-2-4(a)中,由KCL得
令
用等效电导表示为
星形电阻网络与三角形电阻网络的等效变换
由线性电阻元件混联构成的网络,其最简等效电路为线性电阻。但是并非所有由线性电阻元件混联构成的网络都能通过串、并联化简为线性电阻。本小节介绍"平衡电桥"和"星形-三角形"互换两种化简方法。通过这两种方法,在结合电阻元件的串联、并联化简,可实现任何由线性电阻混联构成的网络的等效化简。
【平衡电桥】图2-2-6所示由5个线性电阻(为必要条件)构成的桥式电路中,当或
(由于
为线性电阻,该两个条件必是同时成立的)时,称此桥式电路为平衡电桥。由平衡电桥电路特点可得到平衡电桥的两种等效电路。由
得到图2-2-6所示等效电路;由
得到图2-2-6所示等效电路。
【电桥平衡条件】在图2-2-7(a)所示电路中,有
在电路2-2-7(b)中 ,有
由以上两式均可以推出电桥平衡的条件,为
【星形—三角形互换】 当电桥不满足平衡条件时,必须采用星形(Y形)与三角形(△形)互换才能将电桥电路化成线性电阻。
如果可将图2-2-6中以节电a,c,d为顶点的三角形电阻,
和
等效变换成图2-2-8(a)中以新节点o为中心的星形连接电阻
,
和
;或者将图2-2-6中,以c为中心的Y形连接电阻
,
和
等效变换成图2-2-8(b)中以节点a,b,d为顶点的△形连接电阻
,
和
。这样各电阻之间连接关系成为串联和并联关系了。也可以选择△cbd变成Y形,或选择以d为顶点的Y形变为△形。
【星形—三角形互换条件】根据前面等效的概念,分别求出这两种电路端钮处的电压-电流关系,让两者相同,即可获得等效条件。
在△形电路中,有
求解得△形电路中的电压-电流关系
而Y形电路中的电压-电流关系为
两种电路等效,则端钮处的电压-电流关系应相同。比较△形电路和Y形电路的电压-电流关系,可得△形电路等效变换成Y形电路的条件为
(△→Y)
同理可得Y形电路等效变换成△形电路的条件为
(Y→△)
【例2-2-1】 求图2-2-10(a)所示电路的电流I。
将图2-2-10(a)中,
,
所构成的三角形电路按
等效变换为(b)所示电路。则
4、实际电源的两种模型及其等效变换
独立电源是可以用来描述实际电源的电路元件。以下讨论实际直流电源的电路模型。
【实际直流电压源模型(戴维宁模型)】 一个实际直流电压源的端电压并不是恒定不变的,而是随着输出电流的增加而下降。实际直流电压源外部特性可用图2-2-11(a)所示曲线描述。根据曲线的形状可用独立电压源和线性电阻元件串联的模型来等效,图2-2-11(b)为该实际电源的电路模型,称为戴维宁模型。模型特性方程为
当实际电压源内阻很小时,特性曲线趋于与i轴平行,当
时,特性曲线与i轴平行,成为理想电压源。
【实际直流电流源模型(诺顿模型)】 一个实际直流电流源,其电流并不是恒定不变的,而是随着端电压的增大而下降。实际直流电流源外部特性可用图2-2-12(a)所示曲线描述,并用图2-2-12(b)所示电路模型来等效,称为诺顿模型,电路模
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