压控电压源二阶巴特沃斯高通滤波器的优化设计

摘要：利用MathCAD绘制单位增益压控电压源二阶巴特沃斯高通滤波器参数方程的误差等值曲线，对其分析研究后得出一种优化设计方案，即首先挑选电容，使C1=C2；然后利用公式计算电阻值。显然，这种设计方案具有方便、低成本，易于补偿温漂的优势。经Multisim-10仿真分析，还证实了该方案具有最稳定性的特点。
关键词：高通滤波器；压控电压源；巴特沃斯；稳定性；MathCAD；Multisim

0 引言
巴特沃斯高通滤波器因为其具有通带内幅频响应平坦的特点而被广泛应用，其中二阶高通滤波器既是常用单元又是组成高阶高通的基本单元，其常见的电路形式主要有无限增益多路反馈式(MFB：Multiple Feed-back Circuits)和压控电压源式(VCVS：Voltage-Contralled Voltage Source)。VCVS式高通滤波器具有增益容易控制、同相输出、所需要的精密电阻和电容元件较少、输出阻抗低、对运放性能要求较低等优点。
有关VCVS二阶高通滤波器的设计在许多资料中都有介绍，主要方法有查表法、图示法和计算法。但目前资料上介绍的方法都存在一些不足：查表法、图示法只能取到一部分值，不能满足普遍情况，而且使用不方便；有些设计是先确定电阻阻值，再查图表或计算匹配电容，而这样特定的电容比较难找到，定制这样的电容花费的时间较长、成本较高，且电容精度比电阻精度难以保证；还有就是查表法、图示法和部分计算法没有给出必要的理论根据和通用表达式，使用者不明白其依据，难以放心使用，更不适合教学。并且这些方法都未提及所设计滤波器的稳定性问题。
文献虽然谈到了滤波器稳定性的问题，但只是对于VCVS式和MFB式低通进行了比较，并未分析如何优化滤波器的设计方案。文献对VCVS二阶低通滤波器的优化设计进行了研究，并得出了最优化设计方案。但未提及高通滤波器的优化设计。
本文以VCVS二阶巴特沃斯高通滤波器的优化设计为例，采用MathCAD对VCVS二阶巴特沃斯高通滤波器进行详细分析，并用电路仿真软件Multisim-10对理论分析结果进行仿真，证实所提出的优化设计方案稳定可靠。

1 VCVS二阶高通滤波器的设计
1．1 VCVS二阶高通设计
图1是基本的VCVS二阶高通滤波器，由基尔霍夫电流定律可以推导其传输函数为：

其中α、β是二项式系数，代表不同的滤波特性，由式(1)、 (2)、 (3)可得：

至此，原则上讲，选定C1和C2后可以由式(2)、(5)、(7)、(10)、(11)设计任意特性的VCVS二阶高通，但实际工作中，特别是有关信号分析的应用中经常使用的是通带内放大倍数稳定为1的单位增益巴特沃斯高通滤波器。
1．2 VCVS二阶单位增益巴特沃斯高通设计
对于巴特沃斯滤波器，其二项式系数，根据所需要的转折频率f0，计算ω0=2πf0；对于单位增益AF=1，式(5)～(12)可简化为：

2 VCVS二阶单位增益巴特沃斯高通设计的优化
由式(8a)～(11a)原则上就可以完成VCVS二阶单位增益巴特沃斯高通滤波器的设计，其中优先选取的是电容C2，下面的问题是如何选取两个电容比值k。
2．1 k 值的选取
k 值的选择应该存在一个使计算和元件选配都方便的选择。由式(10a)、(11a)可知，此值为k=1。此时可以先根据转折频率、电容的标准系列值和保证电阻在中等大小范围内的经验公式选取C2：

为保证增益为1，并为运放负端提供地回路，同时补偿运放失调，取：

在运放失调较小时，Rf、Rr可简单地取：Rr≈10k，Rf=0。
具体制作时可直接挑选2个等值C2的电容和3个等值R2的电阻(其中一个作R2，另2个并联作R1)。
k=1这一取值，不仅计算方便，还具有元件选取方便、可操作性强和低成本的优势。由于元件是相同规格，订制和装配成本都低，不易发生装配错误，而且先确定的相对较贵、精度较难保证的电容，即放宽了对电容的要求，而需要匹配的是精度容易保证价格较低的电阻，成本又会降低一些。另外，由于是同规格器件，温漂和老化规律一致，若选取电阻和电容变化方向相反的器件，还可以进一步保证其长期稳定性和温度稳定性。
2．2 稳定性分析
k=1无疑是方便、低成本的选择，但k=1时构成的滤波器稳定性如何，需要分析和验证。
很明显，完全满足参数方程(8a)即δ=0的就是理想的VCVS二阶单位增益巴特沃斯高通，若δ偏离0，也就偏离了理想状况。
令R2=rR1，由式(4)、 (8a)可得

采用MathCAD作出误差δ随k、r变化的等值曲线，如图2所示，δ=0曲线是理想曲线，其附近曲线密集的地方表示更容易偏离理想情况。

由图2可知k=1附近等值线最稀疏，也就是最稳定。所以，设计方便、成本最低的k=1设计方案，恰好也是最稳定的方案。

3 稳定性验证
由上节的理论分析可见，优化设计的结论是k=1时VCVS二阶单位增益巴特沃斯高通具有方便、可行、低成本并且稳定的优势，下面对其稳定性用仿真分析加以验证。
3．1 Multisim-10仿真验证
以设计截止频率为100kHz的VCVS二阶单位增益巴特沃斯高通滤波器为例，按上述方法，具体设计步骤是：取，如1nF，又C1=kC2，由式(10a)、(11a)、(13a)计算出R1、R2、Rr。具体设计数据见表1。