小波变换和motion信号处理(二)

这是《小波变换和motion信号处理》系列的第二篇，深入小波。第一篇我进行了基础知识的铺垫，第三篇主要讲解应用。

在上一篇中讲到，每个小波变换都会有一个mother wavelet，我们称之为母小波，同时还有一个father wavelet，就是scaling function。而该小波的basis函数其实就是对这个母小波和父小波缩放和平移形成的。缩放倍数都是2的级数，平移的大小和当前其缩放的程度有关。

还讲到，小波系统有很多种，不同的母小波，衍生的小波基就完全不同。小波展开的近似形式是这样：

其中的

就是小波级数，这些级数的组合就形成了小波变换中的基basis。和傅立叶级数有一点不同的是，小波级数通常是orthonormal basis，也就是说，它们不仅两两正交，还归一化了。

我们还讲了一般小波变换的三个特点，就是小波级数是二维的，能定位时域和频域，计算很快。但我们并没有深入讲解，比如，如何理解这个二维?它是如何同时定位频域和时域的?

在这一篇文章里，我们就来讨论一下这些特性背后的原理。

首先，我们一直都在讲小波展开的近似形式。那什么是完整形式呢?之前讲到，小波basis的形成，是基于基本的小波函数，也就是母小波来做缩放和平移的。但是，母小波并非唯一的原始基。在构建小波基函数集合的时候，通常还要用到一个函数叫尺度函数，scaling function，人们通常都称其为父小波。它和母小波一样，也是归一化了，而且它还需要满足一个性质，就是它和对自己本身周期平移的函数两两正交：

另外，为了方便处理，父小波和母小波也需要是正交的。可以说，完整的小波展开就是由母小波和父小波共同定义的。

其中

是母小波，

是父小波。需要提醒一点的是，这个正交纯粹是为了小波分析的方便而引入的特性，并不是说小波变换的基就一定必须是正交的。但大部分小波变换的基确实是正交的，所以本文就直接默认正交为小波变换的主要性质之一了。引入这个父小波呢，主要是为了方便做多解析度分析(multiresolution analysis, MRA)。说到这里，你的问题可能会井喷了：好好的为什么出来一个父小波呢?这个scaling function是拿来干嘛的?它背后的物理意义是什么?wavelet function背后的物理意义又是什么?这个多解析度分析又是什么呢?不急，下面，我们围绕一个例子来巩固一下前面的知识，同时再引出新的特性。

假设我们有这样一个信号：

该信号长度为8，是离散的一维信号。我们要考虑的，就是如何用小波将其展开。为了方便讲解，我们考虑最简单的一种小波，哈尔小波。下面是它的一种母小波：

那如何构建基于这个母小波的基呢?刚才提到了，要缩放，要平移。我们先试试缩放，那就是ψ(2n)：

但这样的话，它与自己的内积就不是1了，不符合小波基orthonormal的要求，所以我们要在前面加一个系数根号二，这样我们就得到了另一个哈尔小波的basis function：

同理，我们可以一直这样推广下去做scale，得到4n，8n，…….下的basis function。当然在这个例子里，我们信号长度就是8，所以做到4n就够了。但推广来说，就是这种scaling对母小波的作用为

，这是归一化后的表示形式。

平移的话也很简单，我们可以对母小波进行平移，也可以对scale之后的basis function进行平移。比如对上一幅图中的basis function进行平移，就成了

看得出来，平移后的basis function和母小波以及仅仅scale过的小波，都是正交的，附合小波basis的特点。如果我们用ψ(n)来表示这个mother wavelet，那么这些orthonormal basis函数可以写成：

这里的k是可以看成时域的参数，因为它控制着小波基时域的转移，而j是频域的参数，因为它决定了小波基的频率特性。看到这里，你应该会感觉很熟悉，因为这里的平移和变换本质和刚才对scaling function的平移变换是一模一样的。

这样，我们就有了针对此信号space的哈尔小波basis组合：

图1

可以看出，我们用到了三层频率尺度的小波函数，每往下一层，小波的数量都是上面一层的两倍。在图中，每一个小波基函数的表达形式都写在了波形的下面。

等等，你可能已经发现了，有问题。这里为什么多了个没有函数表达式的波形呢?这货明显不是wavelet function阿。没错，它是之前提到的scaling function，也就是父小波。然后你可能就会问，为啥这个凭空插了一个scaling function出来呢?明明目标信号已经可以用纯的小波基组合表示了。是，确实是，就算不包括scaling function，这些小波函数本身也组成了正交归一基，但如果仅限于此的话，小波变换也就没那么神奇的功效了。引入这个scaling function，才能引入我们提到的多解析