基于Matlab的FIR型希尔伯特变换器设计

摘要：在通信系统中，希尔伯特变换是被广泛应用的重要变换。为了实现数字解调，通常需要借助希尔伯特变换器对信号进行分解，利用Matlab设计希尔伯特变换器是一种最为快捷、有效的方法。通过具体的设计、仿真及对原始信号和经过希尔伯特变换器输出延迟信号的比较，说明Matlab是一个在滤波器设计方面很有力的工具。
关键词：Matlab；Hilbert变换器；remez；FDATool工具

0 引言
通信系统中，经常需要对一个信号进行正交分解，即分解为同相分量和正交分量。由于希尔伯特变换可以提供90°的相位变化而不影响频谱分量的幅度，即对信号进行希尔伯特变换就相当于对该信号进行正交移相，使它成为自身的正交对。因此，希尔伯特变换在通信领域获得了广泛应用。
在传统的设计中，希尔伯特变换器可由一个FIR滤波器和一个时延模块实现，也可由一组滤波器对实现，而实现FIR型希尔伯特变换器的一个简单方法就是对原型低通滤波器作正弦／余弦变换。但是，无论哪种方法都需要通过计算对低通滤波器的系数进行转换，其计算繁琐且存在一定的误差。Matlab作为滤波器设计的基础软件，不仅可以快速有效地实现希尔伯特变换器的设计、分析仿真和最优化，而且可以直接计算出希尔伯特变换器的系数，加之Matlab具有强大的接口功能，为后续的设计提供了方便。

1 希尔伯特变换器的基本原理
连续时间信号x(t)的希尔伯特变换定义为：

由式(1)可得单位冲击响应h(t)=1／(πt)，由于jh(t)=j／(πt)的傅里叶变换是符号函数sgn(w)，所以希尔伯特变换器的频率特性为：

信号x(t)的希尔伯特变换可以看成是信号x(t)通过一个幅度为1的全通滤波器输出，信号通过希尔伯特变换器后，其负频率成分作+90°的相移，而正频率成分作-90°的相移。
这类滤波器要求滤波器的零频响应为0，若滤波器阶数为偶数，则还要求Nyquist频率(归一化频率为1)处的响应为0。即如果滤波器的阶数为偶数，那么增益在频率为0 Hz和fs／2处必须降为零，希尔伯特滤波器必须是一个带通滤波器。如果滤波器的阶数为奇数，那么增益在频率为0 Hz处必须降为零，希尔伯特滤波器必须是一个高通滤波器。

2 希尔伯特变换器的Matlab设计
2．1 直接程序法
Matlab信号处理工具箱提供了firls函数和remez函数，它们的调用格式语法规则相同，只是优化算法不同，函数firls利用最小二乘法使期望的频率响应和实际的频率响应间的误差最小；函数remez实现Park-McClellan算法，这种算法利用remez交换算法和Che-byshev近似理论设计滤波器，使实际频率响应拟合期望频率响应达到最优。
函数调用格式为b=remez(n，f，m，‘h’)或b=firIs(n，f，m，‘h’)，其中，n为滤波器的阶数；f为滤波器期望频率特性的频率向量标准化频率，取值0～1，是递增向量，允许定义重复频点；m为滤波器期望频率特性的幅值向量，向量m和f必须同长度且为偶数；b为函数返回的滤波器系数，长度为n+1，本文将采用remez函数法。
下面设计一个希尔伯特变换器，要求采样频率为2 000 Hz，通频带为50～950 Hz，滤波器阶数为60阶。实现程序如下：

设计的希尔伯特变换器的特性如图1，图2所示。

从仿真结果可以观察到增益在0 Hz和1 000 Hz处降为零，即为带通滤波器；同时具有严格的线性相位特性，符合设计要求。在设计中如果特性不满足要求，原有的参数必须作相应的调整，在程序中只需对参数进行重新设定，就可以得到所需要的希尔伯特变换器。
2．2 利用FDATool工具设计法
FDATool是Matlab信号处理工具箱专用的滤波器设计分析工具，操作简单、灵活，可以采用多种方法设计不同的滤波器，同时可以实现滤波器的最小阶数设计。在Matlab命令窗口输入FDATool后回车就会弹出FDATool界面。
根据2．1中的设计实例，首先在Filter Type栏中选择Hilbert Transformer，在Design Method栏中选择Equiripple法，在filter order中选择60，在Frequencyand Magnitude Specifications中设置F=[50 950]；M=[1 1]；Fs=2 000，最后点击Design Filter，通过菜单选项Analysis可以在特性显示区看到滤波器的各种特性，如图3～图5所示。

在幅频特性和相频特性满足要求的同时，由图3可知单位脉冲响应为奇对称，即h(n)=-h(N-n-1)，也符合希尔伯特变换器的特性。若设计不满足要求，则可以直接在FDATool界面中改变参数，在设计满足要求后，还可以把希尔伯特变换器的系数导出为Matlab变量，文本文件或C语言头文件等，这为后续的设计提供方便。

3 希尔伯特变换器的效果验证
3．1 直接程序验证法
对于所设计的希尔伯特变换器，频率为10 Hz的振动作为输入信号，采样频率为100 Hz，验证对应的数据点是否满足相位相差90°的特点，主要实现程序如下：

由图6可知，该希尔伯特变换器对阻带和通带波纹进行了控制，输出信号的相位比输入信号的相位前移了90°，符合希尔伯特变换的性质。如若把输入信号的频率变为-10Hz，则输出信号较之输入信号会后移90°，如图7所示。通过验证可知，该希尔伯特变换器实现了π／2移相。