频率响应法-- 频域性能指标和时域性能指标的关

中虚线为其渐近线）。由图可见，系统I的带宽为 ，系统Ⅱ的带宽为 ，即系统I的带宽是系统Ⅱ带宽的三倍。图5－64b表示了两系统的阶跃响应曲线。显然，系统I较系统Ⅱ具有较快的阶跃响应，并且前者跟踪阶跃输入的性能也明显优于后者。

需要指出，宽的带宽虽然能提高系统响应的速度，但也不能过大，否则会降低系统过滤高频噪声的能力。因此在设计系统时，对于频带宽度的确定必须兼顾系统的响应速度和抗高频干扰的要求，采取一种折衷的方案。

5.6.3 闭环频域特性与时域响应性能指标的关系

对于二阶系统，其时域响应与频域响应之间有着确定的对应关系。标准二阶系统对应的闭环频率特性为

(5-68)

式中

当 时，系统有谐振产生，由本章第三节讨论可知，其谐振峰值分别为

(5-69)

(5-70)

由式（5－70）得

(5-71)

1、谐振峰值 和最大超调量 的关系

为了便于对谐振峰值 和最大超调量 作比较，把 和 与 的关系曲线都画在图5－65中。由图可见， 和 均随着 的减小而增大。显然，对于同一个系统，若在时域内的 大，则在频域中的 必然也是大的；反之亦然。为了使系统具有良好的相对稳定性，在设计系统时，通常取 值在 之间，对应的 将坐落在 之间。

把式（5－70）代入式（5－63），则得

(5-72)

如果已知 ，则由上式可求得对应的 。

图5－66 和 ， 关系

2、谐振峰值 和调整时间 、峰值时间 关系

根据在第三章中导出二阶系统的上升时间和调整时间的关系式，并考虑到式（5－69），则得

(5-73)

(5-74)

由式（5－70）有：

(5-75)

(5-76)

将式（5－75）的函数关系用曲线表示，如图5－66。可见，峰值时间 与谐振峰值 成正比，而峰值时间 与谐振频率 成反比。调整时间 与 和 的关系和峰值时间 与它们的关系相同。同时上述两式表明，如果已知 和 ，就能从上述关系式中求出 和 。

3、频带宽度与峰值时间、调整时间的关系

根据频带宽度的定义，当 时，二阶系统的幅频为

求解上式，得

(5-77)

同理，注意到式（5－73）、（5－74），并对照式（5－69），则得

(5-78)

(5-79)

由式（5－78）和（5－79）可知，对于给定的 ， 和均与 成反比。这就是说， 越大，则系统响应的速度就越快。

把式（5－70）代入式（5－78）、（5－79），可求得

(5-80)

(5-81)

上述两式把时域性能指标 、 与频域性能指标 和 联系起来，如果已知 和 ，就能从上述关系式中求出 和 。

对于高阶系统，系统的频率响应与时域响应间的对应关系可通过经验公式联系，也通过傅氏积分，即，

(5-82)

由于这种积分变换较复杂，因而不可能像二阶系统那样简单地描述频域响应与时域响应间的对应关系，其积分一般借助于计算机辅助算法，且目前这些算法均比较成熟。如果高阶系统中有一对共轭主导极点，则上述二阶系统的时域响应与频域响应间的对应关系就可近似地应用于高阶系统中去。