利用低功耗微控制器开发FFT应用

今天的低功耗微控制器(μC)也开始集成原先只存在于大型微处理器、ASIC和DSP中的外设功能，使我们有可能以很低的功耗实现复杂的算术运算。本文讨论一种快速傅立叶变换(FFT)应用，并在一个含有单周期硬件乘法器的低功耗μC上实现该应用。

这个FFT应用实时计算一路输入电压(图1中的VIN)的频谱。为完成该任务，用一片模数转换器(ADC)对VIN进行采样，获得的采样传送给μC。然后，μC对这些采样执行256点FFT运算，获得输入电压的频谱。为便于检测，μC将计算出的频谱数据传送给PC，由PC实时显示出来。
  


图1. 利用FFT应用计算输入电压的频谱。

该FFT应用的固件针对MAXQ2000系列中的一款16位、低功耗μC用C语言编写。有兴趣的读者可以下载(ZIP，2.4kb)该项目的固件和电路原理图。  

背景知识

为确定输入信号采样的频谱，我们需要对这些输入采样进行离散傅立叶变换(DFT)。DFT的定义如下：



其中N是采样的数量，X(k)是频谱，x(n)是一组输入采样。利用欧拉等式展开求和符，并分离输入采样和频谱的实部和虚部，得到以下等式：  



式2和3中，求和符中第二项的消失是由于输入采样全部为实数。假定我们有N个采样，直接计算式2和3需要2N2次乘法和2N(N - 1)次加法。这样，我们的256点输入采样DFT将需要进行131,072次乘法和130,560次加法运算。我们还是将注意力转向FFT吧！

有多种FFT算法可供使用。本应用采用普通的radix-2算法，继续将DFT分解为两个更小的DFT。为此，N必须是2的指数。这种radix-2 FFT算法的步骤可归纳如图2所示的蝶型运算。观察这些蝶型运算我们可以发现，radix-2算法仅需(N / 2)log2(N)次乘法和Nlog2(N)次加法。图2中用到的参数WN就是通常所谓的“旋转因子”，可以在执行算法前预先计算出来。



图2. 利用蝶型运算实现N = 8的FFT。  

在图2中，FFT的输入显示为一种特殊的排列顺序，这种序列是对原始序列索引号的二进制位反转后得到的。因此，当我们对N = 8个采样执行radix-2 FFT算法时，需要将输入数据的原始序列：

0 (000b), 1 (001b), 2 (010b), 3 (011b), 4 (100b), 5(101b), 6(110b), 7(111b)

重新排列为：

0 (000b), 4, (100b), 2 (010b), 6 (110b), 1 (001b), 5 (101), 3 (011), 7 (111)

FFT输出则以正确的顺序排列。图2还说明，每个单独的蝶型运算所得的结果，是下一级FFT运算所需的唯一数据。由于运算过程可“即位”进行，新值可替代旧值，这样，计算N个采样的FFT只需要2N个变量(因为每个数据都包括实部和虚部两部分)。

& nbsp; FFT完成后，结果为复数形式。式4和5将结果转换为极坐标方式后表示为：



有关DSP的文献中可以找到很多优化方法，可使上述DFT/FFT算法更小或更快。其中最重要的一种优化方法(可能也是最容易实现的)源于这样一个事实，那就是作为一个实数信号，其DFT幅度是相关于X(N / 2)对称的，因此：



编写FFT代码绝非易事。低功耗μC的一些局限又进一步使该任务复杂化。

存储器：我们所选的μC有2kB的RAM。已经知道该算法需要用到2N个16位变量来存储FFT数据，这样，我们的μC可以执行N最高为512的FFT。然而，固件的其他部分也要用到一些RAM。因此，在此项目中，我们限制N于256。若采用16位变量来表示每个值的实部和虚部，FFT数据总共需要1024字节的RAM。

速度：低功耗μC尽管具有高MIPS/mA性能，仍然需要一些优化手段来使运行FFT的指令数尽可能少。好在本应用所用的C编译器(IAR的Embedded Workbench for MAXQ，见www.iar.com)可提供多种级别的优化和设置。高效地使用硬件乘法器可使代码优化到可以接受的水平。

无浮点能力：所选的μC不具备浮点能力(低功耗产品一般都不具备浮点能力)。因此，所有运算都必须采用定点算法。为了表示小数，固件采用带符号的Q8.7表示法。这样，在固件中假定：  

第0位至第6位代表小数部分
第7位至第14位代表整数部分
第15位代表符号位(二的补码)

这样的安排对于加法和减法没有影响，但在做乘法时必须注意将数据按照Q8.7格式对齐。



所选的数据表示法还要适应FFT算法可能遇到的最大数值，同时又要提供足够的精度。例如，我们的ADC可提供带符号的8位采样，以二的补码表示。如果输入为最大幅度(对于带符号8位采样为127)的直流电压，则其能谱全部包含于X(0)中，用Q8.7表示为32512。这个数值能够由单个带符号的16位数据表示。

固件

以下部分讨论在低功耗μC上执行radix-2 FFT的固件实现。信号采样由ADC读出后被存储在x_n_re数组中。这个数组代表x(n)的实部。虚部存储在x_n_im数组中，在开始运行FFT前初始化为零。完成FFT后，计算结果取代原始采样数据，被存储在x_n_re和x_n_im中。