深入浅出的学习傅里叶变换

　　学习傅里叶变换需要面对大量的数学公式，数学功底较差的同学听到傅里叶变换就头疼。事实上，许多数学功底好的数字信号处理专业的同学也不一定理解傅里叶变换的真实含义，不能做到学以致用!
　　事实上，傅里叶变换的相关运算已经非常成熟，有现成函数可以调用。对于绝大部分只需用好傅里叶变换的同学，重要的不是去记那些枯燥的公式，而是解傅里叶变换的含义及意义。
　　本文试图不用一个数学公式，采用较为通俗的语言深入浅出的阐述傅里叶变换的含义、意义及方法，希望大家可以更加亲近傅里叶变换，用好傅里叶变换。
　　一伟大的傅里叶、伟大的争议!
　　1807年，39岁的法国数学家傅里叶于法国科学学会上展示了一篇论文(此时不能算发表，该论文要到21年之后发表)，论文中有个在当时极具争议的论断：“任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成”。
　　这篇论文，引起了法国另外两位著名数学家拉普拉斯和拉格朗日的极度关注!
　　


　　58岁的拉普拉斯赞成傅里叶的观点。
　　71岁的拉格朗日(貌似现在的院士，不用退休)则反对，反对的理由是“正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号” 。屈服于朗格朗日的威望，该论文直到朗格朗日去世后的第15年才得以发表。
　　之后的科学家证明：傅里叶和拉格朗日都是对的!
　　有限数量的正弦曲线的确无法组合成一个带有棱角的信号，然而，无限数量的正弦曲线的组合从能量的角度可以非常无限逼近带有棱角的信号。
　　二傅里叶变换的定义
　　后人将傅里叶的论断进行了扩展：满足一定条件的函数可以表示成三角函数(正弦和/或余弦函数)或者它们的积分的线性组合。如何得到这个线性组合呢?这就需要傅里叶变换。
　　一定条件是什么呢?
　　这是数学家研究的问题，对于大多数搞电参量测量的工程师而言，不必关注这个问题，因为，电参量测量中遇到的周期信号，都满足这个条件。
　　这样，在电参量测量分析中，我们可以用更通俗的话来描述傅里叶变换：
　　任意周期信号可以分解为直流分量和一组不同幅值、频率、相位的正弦波。分解的方法就是傅里叶变换。
　　并且，这些正弦波的频率符合一个规律：是某个频率的整数倍。这个频率，就称为基波频率，而其它频率称为谐波频率。如果谐波的频率是基波频率的N倍，就称为N次谐波。直流分量的频率为零，是基波频率的零倍，也可称零次谐波。
　　三傅里叶变换的意义
　　1为什么要进行傅里叶变换呢?
　　傅里叶变换是描述信号的需要。
　　只要能反映信号的特征，描述方法越简单越好!
　　信号特征可以用特征值进行量化。
　　所谓特征值，是指可以定量描述一个波形的某种特征的数值。全面描述一个波形，可能需要多个特征值。
　　比如说：正弦波可以用幅值和频率两个特征值全面描述;方波可以用幅值、频率和占空比三个特征值全面描述(单个周期信号不考虑相位)。
　　上述特征值，我们可以通过示波器观测实时波形获取，称为时域分析法。事实上，许多人都习惯于时域分析法，想要了解一个信号时，一定会说：“让我看看波形!”
　　可是，除了一些常见的规则信号，许多时候，给你波形看，你也看不明白!
　　复杂的不讲，看看下面这个波形，能看出道道吗?
　　


　　我们能看到的仅仅是一个类似正弦波的波形，其幅值在按照一定的规律变化。
　　如何记载这个波形的信息呢?尤其是量化的记载!
　　很难!
　　事实上，上述波形采用傅里叶变换后，就是一个50Hz的正弦波上叠加一个40Hz的正弦波，两者幅度不同，40Hz的幅度越大，波动幅度就越大，而波动的频率就是两者的差频10Hz(三相异步电动机叠频温升试验时的电流波形)。
                               
                　　再看一个看似简单的波形：
　　


　　这个波形有点像正弦波，但是，比正弦波尖，俗称“尖顶波”，多见于变压器空载电流输入波形。
　　我们很难准确定量其与正弦波的区别。
　　采用傅里叶变换后，得到下述频谱(幅值谱)：
　　


　　主要包括3、5、7、9次谐波，一目了然!
　　傅里叶变换是一种信号分析方法，让我们对信号的构成和特点进行深入的、定量的研究。把信号通过频谱的方式(包括幅值谱、相位谱和功率谱)进行准确的、定量的描述。
　　这就是傅里叶变换的主要目的。
　　现在，我们知道傅里叶变换的目的了， 剩下的问题是：
2为什么傅里叶变换要把信号分解为正弦波的组合