SVD的效果到底如何呢？

机器学习中常用的降维方法是主成分分析(PCA)，而主成分分析常用奇异值分解(SVD)。那么SVD的效果到底如何呢？SVD常用来进行图像的压缩，我们就来实验一下。

用到的包：

PIL

numpy

实验

载入一张彩色图片，分别对其RGB通道进行SVD分解。奇异值的占比公式为:

分别取和占比为[0.1, 0.2, …, 0.9]的前K个奇异值，进行图片的恢复操作。
from PIL import Image
import numpy as np

def rebuild_img(u, sigma, v, p): #p表示奇异值的百分比
print p
m = len(u)
n = len(v)
a = np.zeros((m, n))

count = (int)(sum(sigma))
curSum = 0
k = 0
while curSum <= count * p:
uk = u[:, k].reshape(m, 1)
vk = v[k].reshape(1, n)
a += sigma[k] * np.dot(uk, vk)
curSum += sigma[k]
k += 1
print 'k:',k
a[a < 0] = 0
a[a > 255] = 255
#按照最近距离取整数，并设置参数类型为uint8
return np.rint(a).astype("uint8")

if __name__ == '__main__':
img = Image.open('test.jpg', 'r')
a = np.array(img)

for p in np.arange(0.1, 1, 0.1):
u, sigma, v = np.linalg.svd(a[:, :, 0])
R = rebuild_img(u, sigma, v, p)

u, sigma, v = np.linalg.svd(a[:, :, 1])
G = rebuild_img(u, sigma, v, p)

u, sigma, v = np.linalg.svd(a[:, :, 2])
B = rebuild_img(u, sigma, v, p)

I = np.stack((R, G, B), 2)
#保存图片在img文件夹下
Image.fromarray(I).save("img\\svd_" + str(p * 100) + ".jpg")

效果

一共10张图，从上到下奇异值和占比为[0.1, 0.2, …, 0.9, 1.0]，奇异值和占比[0.7, 0.8, 0.9]的恢复图像还是比较清楚，然而对应的奇异值个数却非常少，如下表所示：

奇异值和占比 奇异值个数 奇异值个数占比
0.7   45   0.10  
0.8   73   0.16  
0.9   149   0.33  
1.0   450   1.00

小结

奇异值分解能够有效的降低数据的维数，以本文的图片为例，从450维降到149维后，还保留了90%的信息

虽然奇异值分解很有效，但是不能滥用，一般情况下要求降维后信息的损失度不能超过5%，甚至是1%

Ng的视频中提到常见的错误使用降维的情况，在这里也贴出来：

使用降维解决过拟合问题
不论什么情况，先用降维处理一下数据，即把降维当做模型训练的必须步骤