一种计算微波电路的并行算法

其中，*代表时域卷积，上下标的含义不变.

图2　可说明Diakoptics算法的两个子电路连接示意图

多端口子电路连接时，上述算法依然成立，只是式中各冲击函数应换为相应的子矩阵.例如设g网络为输入端有M个、输出端有N个端口的M+N端口网络，h网络为输入端有N个、输出端有L个端口的N+L端口网络(g与h相邻面的端口数目应相同)，g网络输入参考面处的反射、传输子矩阵分别为：

和

式中下标代表参考面，i←j的意思为：i为响应所在参考面，j为激励所在参考面；上标代表端口，m←n的意思为：n为输入端口，m为输出端口.同理,g网络输出参考面处的反射、传输子矩阵分别为：

和

h网络相应子矩阵可用同样方法求得.连接后网络的冲击响应函数［f］为：

［fr1(t)］=［gr1(t)］+［gt2(t)］*［hr1(t)］*［gt1(t)］+［gt2(t)］
*［hr1(t)］*［gr2(t)］*［hr1(t)］*［gt1(t)］+…
［ft2(t)］=［gt2(t)］*［ht2(t)］+［gt2(t)］*［hr1(t)］*［gr2(t)］*［ht2(t)］+…
［fr2(t)］=［hr2(t)］+［ht1(t)］*［gr2(t)］*［ht2(t)］+［ht1(t)］
*［gr2(t)］*［hr1(t)］*［gr2(t)］*［ht2(t)］+…
［ft1(t)］=［ht1(t)］*［gt1(t)］+［ht1(t)］*［gr2(t)］*［hr1(t)］*［gt1(t)］+…　(4)

其中［fr1(t)］、［ft1(t)］、［fr2(t)］和［ft2(t)］分别为M×M、L×M、L×L和M×L阶子矩阵.下面以［gt2(t)］*［ht2(t)］为例说明如何计算矩阵卷积，并以［gt2(t)］*［ht2(t)］的第一个元素为例，说明其物理意义：

　(5)

g1←11←2*h1←11←2：h子网络输出参考面上第一个端口的输入通过gh连接面第1个端口的耦合在g子网络输入参考面上端口1产生的输出；g1←21←2*h2←11←2:h子网络输出参考面上第一个端口的输入通过gh交界面第2个端口的耦合在g子网络输入参考面上端口1产生的输出；g1←N1←2*hN←11←2：h子网络输出参考面上第一个端口的输入通过gh交界面第N个端口的耦合，在g子网络输入参考面上端口1产生的输出；所以［gt2(t)］*［ht2(t)］的第一个元素描述了h网络输出参考面上第一个端口上的输入耦合到g网络输入参考面第一个端口的输出.

四、Diakoptics算法在微波电路分析中的实现

Diakoptics源于网络理论，为将其应用于微波电路的分析中，首先需要建立适于使用Diakoptics方法的微波电路的等效电路模型.

1.微波电路的等效时域网络模型

建立微波电路等效时域网络模型的基本方法是：利用基函数技术(或称时域模技术)将参考面处的场表示为选定的正交基函数的线性组合，将一个微波网络等效为一个多模电路，进而再将多模电路等效为多端口网络的方法.

选定的基函数满足下述条件：只是空间坐标的函数；与时间无关；构成一个完备正交集.且对于给定的微波电路，选定的基函数应能够有效地描述电路中电磁场的分布规律.假设：X-Y平面为电路横截面所在平面，Z为传播方向，电路在Dirac-δ函数激励下在z=z0处的电场分布为Ei(x,y,z0,t)，{φmn(x,y)}为基函数族，用φmm(x,y)可将微波电路中t=t0,z=z0处的场表示为：

　　(6)

其中amn(z0,t0)为第(m,n)次基函数的系数，即幅度，这样从参考面z=z0看入的微波电路可等效为一个基于基函数的等效时域多模电路.基函数的函数形式既可以是适用于一般电路的正交函数形式，也可以是特别适用于某类电路的特殊正交函数.一般说来，当电路几何结构比较复杂，不易根据电路特性选取特殊的正交函数作为基函数时，可以选取矩形脉冲函数(取网格结点的值作为整个网格的平均值，故脉冲宽度为一个网格的宽度).但因脉冲函数描述的只是系统的局部信息，因此要达到足够的精度，函数的展开项数较多.当正交函数可以有效表述电路的全局信息时，通常只需几项或十几项，就可以达到所需的精度.例如，对于均匀填充的矩形波导问题，如根据波导内的场的分布特性，把基函数选为{sin,cos}正交函数集，通常只需5项就可以满足要求.相比较之下，至少需要60个脉冲即60个结点方可较准确地描述波导系统横截面上的空间场分布.

基函数的正交性使得每一个基函数可以被视为一个独立的端口，因此上述基于基函数的等效时域多模电路就可以进一步被视为一个多端口网络.

2.等效多端口网络特性的计算

冲击函数的频谱是无限宽的，因此不能直接使用FDTD算法求解系统的冲击响应函数.FDTD-Diakoptics使用高斯脉冲调制波作为激励，通过加窗Fourier变换技术，求得有限带宽微波电路的冲击响应函数.其中，高斯脉冲激励的调制频率为电路工作频带的中心频率，脉冲宽度和脉冲时间采样间隔取决于频率分辨率和带宽.尽管激励脉冲具有有限带宽导致FDTD-Diakoptics求得的冲击响应函数中包含