分形理论在天线技术中的应用

同的尺度变化下保持相似性，从而具有相似的电特性，形成多频带天线，从这一点上分析，研究分形几何与天线的关系有其必要性。

文献[1]中设计的Sierpinski地毯分形微带天线如图7，仿真和计算结果都表明，Sierpinski地毯分形微带天线具有多频带性，且最宽的频带达到中心频率的47.1％。文献[2]Sierpinski垫片分形天线也具有多频带性，这也证明了分形天线的多频带特性。实际上，不仅Sierpinski分形天线及其变形[3]分形天线表现出多频带性，而且分形树天线、随机分形天线也具备同样的特性。例如，利用等效RLC电路模拟法研究Dendrite类型的印刷分形天线[4]发现，Dendrite类型的随机分形天线在0.4-15GHz频率范围内也具备较好的宽带性能。

我们知道，经典的欧几里德几何研究的对象是规则而光滑的几何形状，而分形结构是由迭代产生的复杂形状，使一些天线的尺寸缩减成为可能。当然，分形严格来说，它是通过无限次的迭代而产生的复杂的几何图形，在天线的应用中我们一般只进行有限次的迭代，这并不影响天线的性能。与传统的天线相比，它更有效的占据空间，也就是分形天线的空间填充性，使得它在很小的空间内能有效的耦合从馈电传输线到自由空间的能量。通过分形环和分形双极子天线与线性环和双极子天线的比较得出：分形天线的空间填充性使得天线的尺寸缩小。实验也证明了这点：Koch曲线分形单极子天线如图1、Koch雪花如图3、Minkowski分形环天线如图5，它们的谐振频率都随着迭代次数的增加而降低[5]。这里，将着重讨论Koch曲线的分形天线的尺寸缩减性能。文献[6][7]重点讨论了Koch曲线的单极天线特性，它的分维数为㏑4/㏑3，当保持天线的高度不变时，见图1(a)所示，随着迭代次数的增加，曲线的长度将按4/3的倍数增加，天线的辐射阻抗增加，谐振频率减小，并趋于某一极限值，同时品质因数Q值减小，也趋于某一有限值。当利用两个Koch 曲线作为天线的两个振子时，即形成了Koch 双极子曲线。如图1(b)所示，Koch双极曲线的长度也随着迭代次数的增加而增加，辐射阻抗相应的增加，谐振频率逐渐减小，并趋于某一极限值。当保持双极曲线的谐振频率不变时，Koch曲线的长度在增加而高度在减小，见表1和图7，从表中我们发现，随着迭代次数的增加，天线的高度逐渐减小而趋向于某一有限值，而长度却无限增长。所以这种设计有利于天线的小型化,当然随着迭代次数的增加，也就相应的增加了天线设计的复杂度，因此，曲线的迭代次数不宜过大。

表1  Koch分形双极天线的高度与长度随迭代次数增加的变化

图7  Koch分形双极天线的高度与长度随迭代次数增加的变化(这里只画了一半)

具有尺寸缩减性能的分形天线还有分形贴片天线[8]。Hilbert分形天线，它的生成过程如图4所示，文献[9]对Minkowski分形环天线进行了深入的分析，表明Minkowski分形天线具有尺寸缩减性，同时随着分形迭代次数的增加，天线的尺寸缩减效应将趋于一极限值等。

3 分形理论在天线设计中的应用

分形天线的自相似性能减小分形天线元的整体宽度，同时和欧几里德几何天线元保持同样的性能，因为各个天线元具有同样的谐振频率和相同的辐射方向图。分形元能够改善运用欧氏几何天线元的线性天线阵列的设计，运用分形元来改善和提高天线阵列的性能，这里讨论两种方法：

一种方法就是减小天线元之间的相互耦合。因为线性阵列中天线元之间的相互耦合导致整个天线的辐射方向图性能下降。相互耦合还能改变天线元的激发电流。因此，如果在阵列天线的设计过程中忽略天线元之间的内部耦合作用，那么天线的辐射方向图就会受到影响，通常表现为副瓣电平的提高甚至导致零信号的填充。

图8  中心距离相等的两种线性阵列

为了比较分形单元和传统的天线单元之间的相互耦合作用，阵列设计如图8 所示，两个阵列都有五个单元组成，单元之间的距离为d=0.3π，阵列单元的相位依次增加1.632弧度，主波束沿轴向扫描为135°。阵列的远场方向图如图9，从图中可以看出，两个阵列主波束扫描角度达到理想的135°，分形天线元阵列在45°方向上有较小的副瓣，同样，通过比较理想阵列元（不考虑阵列元之间的互耦作用）和分形阵列元之间的远场方向图，可以看出阵列元之间的相互耦合作用影响阵列天线的性能和零讯号的填充。在45°方向上，分形阵列的副瓣辐值比传统天线阵列的副瓣辐值小20dB，这意味着更多的能量加在主瓣上。

图9   阵列的方向图比较（ƒ（Ø）单位：dB）

另一种方法是在线性阵列中排列更多的分形天线元。这两种