单片机中最小二乘方滤波器的向量测量及功率计算研究

单片机是一种集成在电路芯片，是采用超大规模集成电路技术把具有数据处理能力的中央处理器CPU随机存储器RAM、只读存储器ROM、多种I/O口和中断系统、定时器/计时器等功能（可能还包括显示驱动电路、脉宽调制电路、模拟多路转换器、A/D转换器等电路）集成到一块硅片上构成的一个小而完善的计算机系统。

　　目前，以单片机为基础的数字式电气测量、保护装置已成为主流形式。交流信号直接采样也已成为一种普通的方法。快速傅立叶算法是其中的主要算法，而最小二乘方算法，计算量很大，尤其在单片机的处理能力有限的情况下，既要保证实时性，又要保证计算速度，不经过精心设计和程序优化，很难保证二者的统一。

　　通过减少采样次数、使用每周滤四个采样点拟合的滤波器和一套优化措施，使该算法计算速度大大提高，可以胜任工频向量的实时测量，因而可以用于过流、速断、方向保护等多个方面。本文分析了滤波器中的向量相位关系，同时给出了以此为基础的两线制功率计算举例。该方法已通过实际应用检验。

　　1 最小二乘方滤波器的构造

　　根据文献[1～3]的研究结果,对每一路信号，输入电压函数可表示为：

　　在一般的测量、保护应用中，只需关心基波成分。为减少计算量，应最大限度地减少采样次数。根据采样定理，一个正弦函数的离散采样次数量少每周波3次。为了方便，将每周波采样次数定为4次，即采样周期为5ms.则公式（1）中只能包含直流和工频分量。将直流分量按泰勒级数展开并取其前两项，则（1）式成为：

　　

　　其中，P0为直流分量值，P1为基波峰-峰值，θ1为基波分量在采样时刻相对于零点的相位角。

　　若以最近连续4次采样值为样本，可得到4个采样方程。如将P0、-P0λ、P1cos（θ1）P1sin（θ1）作为待测未知数，可将4个采样方程表示成如下矩阵：

　　若分别用符号A表示系数矩阵，X表示未知参数向量，U表示采样值，则：

　　

　　其中A-1表示A的逆矩阵，亦即向量X的最小二乘方滤波器。根据文献[3],这个滤波器为：

　　因此，

　　实际应用中，为了减少单片机顺序采样带来的时间延迟所造成的计算误差，硬件电路应具有同步采样功能。其作用就是在采样时刻将所有电气信号分别保持下来。

　　2 数字滤波器中瞬时相量的关系

　　若用ua、ub、uc分别表示三相电压相量，Ua,Ub、Uc表示其有效值，初始相位角分别用θua、θub、θuc表示；用ia、ib、ic分别表示三相电流相量，Ia、Ib,Ic表示其有效值，初始相位角分别为θia、θib、θic.则（4）式就是对应相量在X轴上的投影，即矢量的实部；（5）式就是对相量在Y轴上的投影，即矢量的虚部，（4）和（5）式中的θ1是上述相量相对于20ms时间窗之初时刻的相位角。

　　图1表示了A相电压和A相电流的相位关系，其他依此类似。

　　上述相量的相位关系是相量进一步运算的基础。

　　3 两线制功率计算

　　目前，高压线路的功率测量一般采用三相电压和两组电流，即两线制功率表方法。用式（4）、（5）、（6）、（7）和（10）可以实现线路有功功率和无功功率测量，具体过程如下：

　　两线制的前掉是假设三相电流平衡，即：

　　其中，uab为A相和B相之间的线电压；ucb为C相和B相之间的线电压。

　　将（6）和（7）式结果带和（14）、（15）和（13）式，即测得三相平衡线路的有功功率。

　　如果输入电压是相电压，则：

　　将上式中的余弦函数展开后，再钭（6）和（7）式的对应结果分别代入即可。

　　无功功率的计算只需将（14）、（15）和（16）式中的余弦运算改为相应的正弦运算即可。

　　4 基于单片机应用的优化措施

　　从目前市场情况来看，虽然单片机性能在不断提高，如INTEL单片机从8位、16位到32位不断推陈出新，但真正得以广泛采用的并不是性能最好的产品。从实际应用来看，有时必须面对一个受限制的客观现实。就本应用来说，采用以下措施可大大提高程序的计算速度。

　　4.1 变浮点运算为整数运算

　　对于（4）~（10）式来说，采用C或PL/M高级语言进行浮点运算既方便，精度又高。但与整数运算相比，浮点运算速度要慢得多。因此，为提高计算速度，应尽量采用整数运算。从工程实际来看，A/D转换后的结果一般是双字节整数，可与放大10位的最小二乘滤波器直接运算，则（4）式变为：

　　（17）、（18）式只有6次4字节的长整数乘法和4次加法。即使对12位A/D而言，（17）、（18）式的计算结果也不会溢出。由于滤波器扩大10倍时是整数，没有四舍五入，因此计算过程无任何附加误差。

　　4.2 快速求平方根法

　　从（4）~（10）式来看，耗时最多的是（10）式，即求平方根运算，获得基波的峰-峰值。

如果直接采用标准浮点库提供的开平方函数，16MHz的80196KC需3ms左右。若采用文献[4]中的整数