使用混合有限元边界积分法实现辐射与散射仿真

有限元法(FEM)作为一种分析和设计工具，已广泛应用于天线、微波和信号完整性等众多电子工程领域。FEM求解器与其它矩量法(MoM)和时域有限差分法(FDTD)等数值方法相比拥有多项显著的优势。这些优势包括：能够处理复杂的非均匀和各向异性材料、能够借助四面体单元准确地描绘复杂几何形状、能够使用高阶基函数实现准确性、具有多种端口和入射波等激励方式。利用这些功能优势，FEM就能够以极高的准确性对波导结构进行仿真。

但是，对于开放空间问题(例如天线向开放空间辐射的时候)，FEM求解器需要通过在人工截断的边界表面上设定辐射边界条件(RBC)，以便将无限域截断为有限域。两种广泛使用的RBC包括一阶吸收边界条件(ABC)和理想匹配层(PML)，后者通常情况下都能够提供最佳的准确性。两种方法都保留了FEM系统矩阵的稀疏性，但仅适用于凸起的辐射表面。两种都属于近似方法，都存在准确性问题，比如会产生来自辐射表面的非物理伪反射。这个问题可以通过增大RBC与辐射结构的间距，让反射降至可忽视的水平，来予以解决。

另一方面，积分方程(IE)法，比如MoM，则非常适合对位于匀质边界或无限大介质中的结构进行建模。其分析内核采用格林函数，可以在无穷远处采用Sommerfeld辐射条件。因此，不管是从内存占用，还是从CPU时间占用来说，对多个在空间上分离，互不相连的同质结构，IE求解器都毋庸置疑地成为更好的选择，因为它不需要对目标之间的空间进行详细的仿真。

本文将介绍ANSYS公司在HFSS中提供的一款全新的FEBI求解器。该求解器得力于近期区域分解方法的进步。在现有的FEBI方法中，无限未知域被分割为两个互不重叠的域：一个有界FEM域和一个无界同质外部域。两个域间的耦合通过其交界面上的合适的边界条件加以考虑。

基于域分解的FEBI求解器

FEBI求解器首先将原始的目标域Ω分割为两个互不重叠的子域Ω1和Ω2，如图1所示。

图1：将目标域分解为FEM域和IE域。Ω1和Ω2之间的公共界面在FEM域中表达为δΩ1，在IE域中表达为δΩ2。这种区分是必要的，因为现有的公式允许两个域间的非共形耦合。也就是说，可以分开处理各个域的网格剖分、基函数和基函数阶数、矩阵建立和求解过程。对于一个稳健的FEBI求解器来说，能够以模块化的方式处理每个域的不同基函数阶数是非常重要的，因为更高阶的IE求解器还在开发的过程中。

根据上述的域分解情况，可以写出如下最终的系统矩阵：

这里，AFE和ABI分别代表FEM域和BI域的系统矩阵。C是两个域之间的耦合矩阵。由于是通过界面上的电流和磁流来实现耦合的，因此这种耦合非常稀疏。等式2的解可以通过把下式拆分后迭代求得：

然后用迭代法求得：

域分解法的优势可以从4式中清楚地看出。FEM域和BI域被去耦合了，因此并行化就很容易了。上文已经介绍过，BI可以在FEM中用作准确的截断边界。由于这种实现方式的模块化特征，可以轻松地实现先进的FEM求解器和IE求解器的混合求解。

应用

在本节中，将重点介绍使用这种混合方法的两个例子来突显FEBI的优势。如前文所述，一阶ABC可以用于足够大的有界共形空间，但这个空间不能有凹陷。另一方面，PML可以拉近与模型的间距，但最适合于长方体有界区域。对混合FEBI技术来说，由于可以精确计算边界上电流和磁流的耦合，不用考虑这些外形和大小的约束问题。从这种新边界的测试显示可以看出，当间距为λ0/10的时候，能够实现速度和求解 规模的最佳平衡5。这里λ0是开放空间中的波长。另外，FEBI边界可以做到完全共形，包括凹区域。另外，还可以把模型的各个部分独立闭合为单独的域，每个域都有一个BI边界。通过使用高度共形和分离空间的区域，可以大幅度缩小有限元求解域的范围，从而实现高效率的仿真。为证明这一点，下面将介绍两个例子，一个使用独立空间，一个使用高度共形边界表面。

第一个例子使用的是完全符合教科书的介质透镜6。透镜及其馈源喇叭如图2所示。透镜将来自于源天线的电磁场聚焦于正前方。仿真的透镜采用长方体波导管作为馈源，其εr=2.56，正面直径为4.4λ0。然后使用混合FEBI法对系统进行分离域的建模，馈源喇叭及周围的长方体空间作为一个域，透镜周围的圆锥形区域作为另一个域，每个分离空间的截断面采用BI边界。

为便于比较，同时采用了PML对该天线系统进行仿真，为求得准确的答案，使用了一个更大的长方体空气盒子将整个模型包在内，并距离辐射体足够的距离以保证结果的准确。与采用PML仿真相比，FEBI模型使用的较小空间可以将内存的占用降低10倍。图中同时显示了两种仿真计算得出的电场的阴影