有源滤波器中的相位关系考察

中：Normalized Frequency——归一化频率，Phase Angle(in-phase)——相角(同相)，Phase Angle(inverted)——相角(反相)

图4描绘了该式所表示的(α=1.414)、在中心频率以下两个十倍频程至中心频率以上两个十倍频程这一范围内的响应特性。这里，中心频率(=1)处出现的相位偏移为–90°。一个2极点、高通滤波器的相位特性响应可以由下式近似表示

(4)

图5描绘了该式所表示的响应特性(同样有α=1.414)，其范围是中心频率(=1)以下两个十倍频程至中心频率以上两个十倍频程，相应的相移为

图5. 一个双极点、高通滤波器的中心频率 1 附近的相位响应(同相，左轴;反相响应，右轴) 图中：Normalized Frequency——归一化频率，Phase Angle(in-phase)——相角(同相)，Phase Angle(inverted)——相角(反相)

同样的，显然高通和低通相位响应是类似的，仅仅存在180°的相位偏移(π弧度)。在更 高阶数的滤波器中， 每个附加段的相位响应都累加到总的相移量之上。这一特性将在下面进一步予以讨论。为了与通常的实践保持一致，所示出的相移被限制为±180°的范围之内。 例如，–181° 事实上等价于 +179°，360°等价于0°，依此类推。

一阶滤波器段

一阶滤波器段可以以多种方式来构建。 图6示出最简单的一种结构，即使用无源的R-C架构。该滤波器的中心频率为1/(2πRC)。它之后往往接一个同相的缓冲放大器，以防止滤波器之后的电路 对其产生负载效应，负载会改变滤波器的响应特性。此外，缓冲器还可以提供一定的驱动能力。相位响应如图2所示，即在中心频率点处产生45°的相移，正如传 递函数所预测的那样，这是因为没有另外的元件改变相移特性。这种响应特性将被称为同相、一阶、低通响应特性。只要缓冲器的带宽显著高于滤波器，那么缓冲器 就不会带来相移。

图6. 无源低通滤波器

请记住，这些图中的频率值是归一化的，即相对于中心频率的比值。例如，若中心频率是5kHz，则这些图将展示50Hz到500kHz范围内的相位响应特性。

图 7示出另外一种结构。该电路增加了一个并联电阻，对积分电容进行连续放电，从根本上来说它是一个有损耗的积分器。其中心频率同样是1/(2πRC)。因为 该放大器是以反相模式工作的，故反相模式将在相移特性上引入附加的180°相位。图2示出了输入-输出的相位差随频率的变化，其中包括了放大器引入的反相 (右轴)。该响应特性将被称为反相的、一阶、低通响应。

图7. 利用工作在反相模式的运放搭建的有源、单极点、低通滤波器

上面所示的电路可以衰减高频分量而通过低频分量，均属于低通滤波器。可以通过高频分量的电路则与之类似。图8示出一个无源的一阶、高通滤波器电路结构，其相位随着归一化频率的变化特性则示于图3中(同相响应)。

图8. 无源高通滤波器

图3(左轴)的曲线被称为同相、一阶、高通响应特性。该高通滤波器的有源电路示于图9中。其相位随频率的变化示于图3中(右轴)。这将被称为反相、一阶、高通响应。

图9. 有源、单极点、高通滤波器二阶滤波器段

二阶滤波器有各式各样的电路结构。这里要讨论的是Sallen-Key、多路反馈、状态变量结构，及其类似的双二阶滤波结构。它们是最常见的结构，而且与本文的内容相关。关于各种不同结构的更为完整的信息可参见文后的参考文献。

Sallen-Key低通滤波器

广 泛使用的Sallen-Key结构也被称为电压控制电压源(VCVS)型，是MIT的林肯实验室(参见文献3)的R.P. Sallen和 E.L. Key于1955年提出的结构。图10示出了一个Sallen-Key二阶低通滤波器的电路原理图。这一结构受到广泛欢迎的一个原因是它的性能基本与运放 的性能无关，因为放大器主要作为一个缓冲器来使用。由于在基本的Sallen-Key电路中，连接成跟随器的运放并不用于产生电压增益，故对它的增益-带 宽要求并不重要。这意味着，对于给定的运放带宽而言，与运放的动态特性受到可变反馈环路特性影响的那些电路结构相比，利用这一固定的(单位)增益可以设计 出频率更高的滤波器。通过滤波器后，信号的相位保持不变(同相结构)。图4示出一个Q=0.707(或者，阻尼比α=1/Q=1.414—— Butterworth响应特性)的Sallen-Key低通滤波器的相移-频率关系图。为了简化比较，这将作为下面所考虑的二阶滤波器段的性能标准。

图10. 2极点、Sallen-Key低通滤波器

Sallen-Key高通滤波器

通过互换决定频率网络上的电容和电阻的位置，可将Sallan-Key低通电路变换为高通结构，正如图