电流的连续性方程和恒定电流条件

在导体内任取一闭合曲面S，根据电荷守恒定律，单位时间由闭合曲面S内流出的电量，必定等于在同一时间内闭合曲面S所包围的电量的减少，也就是下面的关系必须成立

, (10-5)

这就是电流连续性方程的积分形式。如果电荷是以体电荷形式分布的，则上式可以改写为

,

上式等号左边等于电流密度散度的体积分，于是式(10-5)可化为

,

上式积分在曲面S所包围的体积t内进行。因为对于任意闭合曲面上式都成立，于是得到电流连续性方程的微分形式

. (10-6)

恒定电流就是其电流场不随时间变化的电流。电流场不随时间变化，就要求电流场中的电荷分布也不随时间变化，由分布不随时间变化的电荷所激发的电场，称为恒定电场。既然恒定电场中电荷分布不随时间变化，电流连续性方程(10-5)必定具有下面的形式

, (10-7)

上式就是恒定电流条件的积分形式。由式(10-6)可以得到恒定电流条件的微分形式

, (10-8)

恒定电流条件表明，在恒定电流场中通过任意闭合曲面的电流必定等于零。这也表示，无论闭合曲面S取在何处，凡是从某一处穿入的电流线都必定从另一处穿出。所以，恒定电流场的电流线必定是头尾相接的闭合曲线。

上面所说的恒定电场，是由运动的而分布不随时间变化的电荷所激发的。在遵从高斯定理和环路定理方面，恒定电场与静电场具有相同的性质，所以两者通称之为库仑电场。