巧找线性系统稳定性的“七寸”

作者：Machinnneee

　　在电子电路设计过程中，负反馈的引入让系统变的更加“听话”，然而，在使用负反馈的过程中，也有潜在的不稳定性：当设计的系统满足一定条件时，设计的系统就会变得不那么“听话”，甚至变得振荡起来。为了找到负反馈线性系统的稳定性，本文对关键点进行剖析。

　　为分析系统的稳定性，首先需要知道两个概念：增益交点和相位交点。所谓增益交点，顾名思义，就是使环路增益为1的频率点;相位交点是使环路增益的相位为-180°的频率点。这两个频率点在保持系统的稳定性中，起到重要的作用。在稳定的系统中，增益交点通要比相位交点靠前：



　　在图1中，增益交点在相位交点之前，满足系统稳定的条件，这样的系统变得稳定，而图2中增益交点在相位交点之后，则系统就变得不稳定。

　　为什么这么说呢?因为这就是非常著名的“巴克豪森判据”(Barkhausen’s Criteria)。因此，负反馈的引入就是为了克服这样两个因素。

　　由此可以看出，一个系统的波特图对判断一个系统的稳定与否有着重要的作用。如果设计出了如图2的系统，显然不稳定，但是可以通过对系统的反馈回路调整和补偿，将系统的增益交点出现在相位交点之前，那么，系统就会变得稳定了。

　　写到这里，相信不少电子工程师对波特图的使用有了更深刻的认识，有兴趣的朋友参考下我之前写的文章欣赏波特图的魅力，在这里我要强调一点，在画波特图的相位图时，需要找好三个关键点：

　　①对于零点频率ω，在0.1ω处，相位图开始下降;
　　②在ω处，相位图的经过了大约+45°的相移;
　　③在10ω处，相位图经过了大约90°的相移;

　　为说明这点，现以一RC低通滤波器为例说明：



　　其传递函数为



　　其相位图如图4 所示。

　　波特图能够大概分析系统稳定性，在设计过程中，如果系统不复杂，能够以表达式的形式表达出极点，那么，也可以在复平面中查看系统的稳定性。(由于传递函数长用拉普拉斯变换，引入拉普拉斯算子s，这让我深深明白大学学习复变函数的重要性)。

　　对于复平面，图5，



　　若极点落在右半平面，则系统是不稳定的，若在原点处，系统也有可能出在振荡状态。也就是说，只有所有的极点都落在左平面内，系统才能变得稳定。(这时，你能想起来大学老师教你的复变函数的一个应用了吧)。

　　例如若一极点的位置为1+J3，则系统不稳定，若极点位置在-1+j3，那么就是稳定的。所以，在设计系统时，要将所有的极点都落在复平面的右半平面。