三轴正交型传感器正交性的软件修正方法

        当需要测量的物理量为矢量时，我们需要使用三个正交放置的传感器来分别测量物理量的各个分量，以此来合成一个完整的矢量。如果我们对测量精度要求非常高，就不能仅仅只是对单个传感器进行修正，还要考虑三个传感器的敏感轴是否严格的正交。很多时候我们需要仔细的调整三个传感器的正交关系，但是将三个传感器调整到完全正交是很难的，并且许多时候，由于设计等原因，这种机械上的调校是无法进行的。这时，软件修正就成了必不可少的步骤，软件修正大多数时候也比机械上的调校更简单。
这里介绍一种基本的软件修正方法。它对大多数类型的传感器都可以使用。首先，假设单独的每个传感器的测量的值都是准确的，这可以通过预先对每个传感器进行标定来完成。
这里设三个传感器的测量值分别是 x1，x2，x3。这三个值可以合成一个列向量X：



而传感器所在位置的真实物理量可以用矢量Y来表示：



所谓软件修正算法，就是找到从 X到 Y 的映射。由解析几何知识我们知道X到 Y 的映射可以通过一个线性变换C来表示：



写到这里其实方法就很明了了，我们只需要求得这个转换矩阵C就一切都解决了。
转换矩阵C如何求，当然是通过大量的测量数据来拟合。实验数据的获得很重要，最好能有个比较精密的三轴转台，这样转各个角度都比较方便。没有也没关系，但至少要能把装配好的传感器组沿三个已知的方向放置，并且这三个方向要摆放的很精确。通常，我们选的这三个方向是相互正交的，这三个方向上物理量的真实值就是上面式子中的y1、y2、y3，换句话说这三个方向是三个传感器的名义上的取向，虽然这三个传感器可能全都摆歪了。具体如何采集数据就不详细描述了，由于未知参数有9个，至少要采集9组数据才行，条件允许的话当然是数据越多越好。
下面说说如何对采集到的数据进行拟合。通常我们遇到的最小二乘拟合问题的待拟合的函数都可以表示为：



这里x1，…，xN是函数的自变量，c1，…，cM是待拟合的参数。我们可以将自变量和待拟合参数简写为向量，这样表达式能够简化：



所谓最小二乘拟合就是求的使的下面函数g(C)为最小值时C的值，其中Xi 和 yi 为测量值，这里设共有P 组测量值：



这个问题已经有成熟的算法，各种常见的数学软件，比如 Matlab、Mathematica、scilab、Lingo 等都有现成的程序包来完成这个计算。我们现在的问题难点在于 y 也是个向量，这就需要我们对上面的方法进行一点简单的变形。简单的说，我们实际上是有三个待拟合函数的，因此g(C)也要做相应的改变：



经过这样转化后就成了一个普通的最优化问题（函数求极值）了，各种数学软件都可以方便的计算出结果。
这里再多说几句，我个人喜欢使用 gnuplot，gnuplot中有个 fit 命令，也可以完成多元函数拟合。Gnuplot的 fit 命令采用非线性最小二乘 (NLLS) Marquardt-Levenberg算法，拟合能力非常强悍，只要拟合参数的初值给的别太离谱，基本都能够收敛到最优解上。fit命令具体的用法可以参考gnuplot的帮助文件。这里只讲讲如何处理 y是多个值的问题，方法很简单，就是通过多引入一个自变量，将多值函数改造成普通的函数：



改造后的fc(X,i)就成了普通的多元函数了，可以用常规的多元函数拟合方法来处理。
如果将三个传感器单独的校正和正交性校正一起进行，可以这样来：



这里需要注意的是如果a1，a2，a3成为未知数，c11，c22，c33就可以作为已知量了，比如设c11=c22=c33=1，因为这里的六个未知数只有三个是独立的。因此，实际上只增加了三个未知数。
如果将上面的方法和温度修正一起考虑的话可以这样处理：



上面式子中的t是温度，这里的温度修正算法比较简单，主要是为了尽量少引入未知的参数。后面的计算就没什么不同的了。