快速傅里叶变换FFT的C程序代码实现

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　　一、彻底理解傅里叶变换

　　快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform)是离散傅里叶变换的一种快速算法，简称FFT，通过FFT可以将一个信号从时域变换到频域。
　　模拟信号经过A/D转换变为数字信号的过程称为采样。为保证采样后信号的频谱形状不失真，采样频率必须大于信号中最高频率成分的2倍，这称之为采样定理。
　　假设采样频率为fs，采样点数为N，那么FFT结果就是一个N点的复数，每一个点就对应着一个频率点，某一点n(n从1开始)表示的频率为：fn=(n-1)*fs/N。
　　举例说明：用1kHz的采样频率采样128点，则FFT结果的128个数据即对应的频率点分别是0，1k/128，2k/128，3k/128，…，127k/128 Hz。
　　这个频率点的幅值为：该点复数的模值除以N/2(n=1时是直流分量，其幅值是该点的模值除以N)。

　　二、傅里叶变换的C语言编程

　　1、对于快速傅里叶变换FFT，第一个要解决的问题就是码位倒序。

　　假设一个N点的输入序列，那么它的序号二进制数位数就是t=log2N.
　　码位倒序要解决两个问题：①将t位二进制数倒序;②将倒序后的两个存储单元进行交换。
　　如果输入序列的自然顺序号i用二进制数表示，例如若最大序号为15，即用4位就可表示n3n2n1n0，则其倒序后j对应的二进制数就是n0n1n2n3，那么怎样才能实现倒序呢?利用C语言的移位功能!
　　程序如下，我不多说，看不懂者智商一定在180以下!

　　复数类型定义及其运算
　　#define N 64 //64点
　　#define log2N 6 //log2N=6
　　/*复数类型*/
　　typedef struct
　　{
　　float real;
　　float img;
　　}complex;
　　complex xdata x[N]; //输入序列
　　/*复数加法*/
　　complex add(complex a,complex b)
　　{
　　complex c;
　　c.real=a.real+b.real;
　　c.img=a.img+b.img;
　　return c;
　　}
　　/*复数减法*/
　　complex sub(complex a,complex b)
　　{
　　complex c;
　　c.real=a.real-b.real;
　　c.img=a.img-b.img;
　　return c;
　　}
　　/*复数乘法*/
　　complex mul(complex a,complex b)
　　{
　　complex c;
　　c.real=a.real*b.real - a.img*b.img;
　　c.img=a.real*b.img + a.img*b.real;
　　return c;
　　}
　　/***码位倒序函数***/
　　void Reverse(void)
　　{
　　unsigned int i,j,k;
　　unsigned int t;
　　complex temp;//临时交换变量
　　for(i=0;i<N;i++)//从第0个序号到第N-1个序号
　　{
　　k=i;//当前第i个序号
　　j=0;//存储倒序后的序号，先初始化为0
　　for(t=0;t<log2N;t++)//共移位t次，其中log2N是事先宏定义算好的
　　{
　　j<<=1;
　　j|=(k&1);//j左移一位然后加上k的最低位
　　k>>=1;//k右移一位，次低位变为最低位
　　}
　　if(j>i)//如果倒序后大于原序数，就将两个存储单元进行交换(判断j>i是为了防止重复交换)
　　{
　　temp=x;
　　x=x[j];
　　x[j]=temp;
　　}
　　}
　　}

　　2、第二个要解决的问题就是蝶形运算

 

　　①第1级(第1列)每个蝶形的两节点"距离"为1，第2级每个蝶形的两节点"距离"为2，第3级每个蝶形的两节点"距离"为4，第4级每个蝶形的两节点"距离"为8。由此推得，
　　第m级蝶形运算，每个蝶形的两节点"距离"L=2m-1。
　　②对于16点的FFT，第1级有16组蝶形，每组有1个蝶形;第2级有4组蝶形，每组有2个蝶形;第3级有2组蝶形，每组有4个蝶形;第4级有1组蝶形，每组有8个蝶形。由此可推出，
　　对于N点的FFT，第m级有N/2L组蝶形，每组有L=2m-1个蝶形。
　　③旋转因子的确定
　　以16点FFT为例，第m级第k个旋转因子为，其中k=0～2m-1-1，即第m级共有2m-1个旋转因子，根据旋转因子的可约性，，所以第m级第k个旋转因子为，其中k=0～2m-1-1。

　　为提高FFT的运算速度，我们可以事先建立一个旋转因子数组，然后通过查表法来实现。

　　complex code WN[N]=//旋转因子数组
　　{ //为节省CPU计算时间，旋转因子采用查表处理
　　//★根据实际FFT的点数N，该表数据需自行修改
　　//以下结果通过Excel自动生成
　　// WN[k].real=cos(2*PI/N*k);
　　// WN[k].img=-sin(2*PI/N*k);
　　{1.00000,0.00000},{0.99518,-0.09802},{0.98079,-0.19509},{0.95694,-0.29028},
　　{0.92388,-0.38268},{0.88192,-0.47140},{0.83147,-0.55557},{0.77301,-0.63439},
　　{0.70711,-0.70711},{0.63439,-0.77301},{0.55557,-0.83147},{0.47140,-0.88192},
　　{0.38268,-0.92388},{0.29028,-0.95694},{0.19509,-0.98079},{0.09802,-0.99518},
　　{0.00000,-1.00000},{-0.09802,-0.99518},{-0.19509,-0.98079},{-0.29028,-0.95694},
　　{-0.38268,-0.92388},{-0.47140,-0.88192},{-0.55557,-0.83147},{-0.63439,-0.77301},
　　{-0.70711,-0.70711},{-0.77301,-0.63439},{-0.83147,-0.55557},{-0.88192,-0.47140},
　　{-0.92388,-0.38268},{-0.95694,-0.29028},{-0.98079,-0.19509},{-0.99518,-0.09802},
　　{-1.00000,0.00000},{-0.99518,0.09802},{-0.98079,0.19509},{-0.95694,0.29028},
　　{-0.92388,0.38268},{-0.88192,0.47140},{-0.83147,0.55557},{-0.77301,0.63439},
　　{-0.70711,0.70711},{-0.63439,0.77301},{-0.55557,0.83147},{-0.47140,0.88192},
　　{-0.38268,0.92388},{-0.29028,0.95694},{-0.19509,0.98079},{-0.09802,0.99518},
　　{0.00000,1.00000},{0.09802,0.99518},{0.19509,0.98079},{0.29028,0.95694},
　　{0.38268,0.92388},{0.47140,0.88192},{0.55557,0.83147},{0.63439,0.77301},
　　{0.70711,0.70711},{0.77301,0.63439},{0.83147,0.55557},{0.88192,0.47140},
　　{0.92388,0.38268},{0.95694,0.29028},{0.98079,0.19509},{0.99518,0.09802}
　　};

　　3、算法实现

　　我们已经知道，N点FFT从左到右共有log2N级蝶形，每级有N/2L组，每组有L个。所以FFT的C语言编程只需用3层循环即可实现：最外层循环完成每一级的蝶形运算(整个FFT共log2N级)，中间层循环完成每一组的蝶形运算(每一级有N/2L组)，最内层循环完成单独1个蝶形运算(每一组有L个)。
　　/***【快速傅里叶变换】***/
　　void FFT(void)
　　{
　　unsigned int i,j,k,l;
　　complex top,bottom,xW;
　　Reverse(); //码位倒序
　　for(i=0;i<log2N;i++)   /*共log2N级*/
　　{ //一级蝶形运算
　　l=1<<i;//l等于2的i次方
　　for(j=0;j<N;j+=2*l)  /*每L个蝶形是一组，每级有N/2L组*/
　　{ //一组蝶形运算
　　for(k=0;k<l;k++)   /*每组有L个*/
　　{ //一个蝶形运算
　　xW=mul(x[j+k+l],WN[N/(2*l)*k]); //碟间距为l
　　top=add(x[j+k],xW); //每组的第k个蝶形
　　bottom=sub(x[j+k],xW);
　　x[j+k]=top;
　　x[j+k+l]=bottom;
　　}
　　}
　　}
　　}

　　三、FFT计算结果验证

　　随便输入一个64点序列，例如
　　x[N]={{1,0},{3,0},{2,0},{5,0},{8,0},{4,0},{1,0},{3,0},{2,0},{5,0},{8,0},{4,0},{1,0},{3,0},{2,0},{5,0},{8,0},{4,0},{1,0},{3,0},{2,0},{5,0},{8,0},{4,0},{1,0},{3,0},{2,0},{5,0},{8,0},{4,0},{1,0},{3,0},{2,0},{5,0},{8,0},{4,0},{1,0},{3,0},{2,0},{5,0},{8,0},{4,0},{1,0},{3,0},{2,0},{5,0},{8,0},{4,0},{1,0},{3,0},{2,0},{5,0},{8,0},{4,0},{1,0},{3,0},{2,0},{5,0},{8,0},{4,0},{1,0},{3,0},{2,0},{5,0}};
　　在Keil中Debug查看数组变量x的FFT计算结果并与MATLAB计算结果进行比对，可以发现非常准确，说明程序编写正确！