如何轻松地理解傅立叶变换

大家都学过傅立叶变换，但是你真的能很好的理解他吗?现在你还能回忆起傅立叶变换是咋回事不?
下面一篇文章帮你更轻松的理解傅立叶变换
傅立叶变换是有史以来最重要的发现之一。不幸的是，由于其公式的复杂，大部分人并不能理解其含义。
那么，抛开枯燥难懂的数学符号，让我们用一种新方法来试着理解。这是一个纯中文的阐述：

• 傅立叶变换有什么用?拿一杯慕斯，用它能找出配方。
• 该怎么做呢?把慕斯放进过滤器（滤波器），然后萃取每一种成分。
• 为什么呢?因为配方比慕斯本身更容易用来分析、比较和定义。
• 我们怎么能拿回原本的慕斯呢?混合所有的成分。
  

然后，类似于“数学-中文”模式：

• 基于时域的傅立叶变换会检测每一种“周期成分”（周期长度，补偿，和转速），返回完成的“周期配方”（频率图谱）
  

现在要上公式了?当然不是！让我们自己动手，进行一次生动的模拟。
要是一切顺利的话，你会惊奇的发现，你已经直观的明白了为什么傅立叶变换能够实现。我们用下列步骤替代了所有的数学分析。
这并不是一次紧张的实验，而是一次舒心的体验。让我们开始吧！
由慕斯得到配方
数学变换的实质是变量关系的改变。根据所算之物，把我们对数量的认知从“单一物体”（沙里的线条，计数系统）变成“许多10”（小数）。游戏得分?继续计数。乘法?拜托，是小数。
傅立叶变换把我们的视角由消费者变成了生产者，从“我看到了什么?”变成“这是怎么发生的?”。
换句话说：拿一个慕斯，我们要找出它的配方。
为什么呢?好吧，配方是饮料的最佳描述。你并不会跟人一滴一滴分析饮料，只会说“我有一杯橘子或是香蕉慕斯”。配方比事物本身更易于归类、比对和定义。
那么……拿一杯慕斯，到底怎么找到配方呢?

嗯，想象一下你周围有很多过滤器（滤波器）：

• 把慕斯倒进“香蕉”过滤器（滤波器）里。提取出了1盎司香蕉。
• 倒进“橘子”过滤器（滤波器）里。提取出了2盎司橘子。
• 倒进“牛奶”过滤器（滤波器）里。提取出了3盎司牛奶。
• 倒进“水”过滤器（滤波器）里。提取出了3盎司水。
  

我们可以通过混合每种成分得到原先的慕斯。懂了么?

• 过滤器（滤波器）必须是相互独立的。香蕉过滤器（滤波器）只滤出香蕉，没有其它的任何成分。再多的橘子也不能影响香蕉的读数。
• 过滤（滤波）必须是彻底的。如果我们遗漏了一个过滤器（滤波器），就永远也得不到真正的配方（天哪！那还有个芒果过滤器（滤波器）！）。我们的过滤器（滤波器）必须能确定每种成分的含量。
• 不同成分之间必须是可合成的。慕斯必须能被分离并重制(饼干?没那么夸张。谁有想要一堆碎屑呢?).不同成分在分离和结合的时候必须是线性的。
  

周期看世界
傅立叶变换持有一种特别的观点：要是每一种信号都是周期性的呢（周期性重复）?
哇塞。这个假设太让人着迷了，可怜的约瑟夫·傅立叶首先提出了这个假设。（现实里约瑟夫，楼梯能做成环状的么?）
忽略数学界持续数十年的争论，我们希望学生们可以直观的理解这个概念。额……让我们略过直观的部分。
就像我们分析慕斯成分一样，傅立叶变换可以分析出信号的成分：

• 开始时，是一个时域信号
• 用滤波器来测定每种可能的“周期信号成分”
• 完整的“配方”需要列出所有的“周期信号成分”的数值
  

完成。这就是大部分教程要教给你的东西。别被吓到了；想想这个例子“天哪，过五关斩六将，我们终于得到源代码（DNA）了”。

• 要是地震波（不同强度和速度的震动）能被分离成几种成分，建筑就能被设计成免于地震威胁的高强度结构。
• 要是声波（高低不同的频率）能被分成几种成分，我们就能增强想要的部分，削弱不想要的部分。随机噪声引起的噼啪声可以被滤除。相似的“声谱”可以被比对（音乐识别服务比对的是声谱而不是原始音频）。
• 要是电脑数据能被周期性的描述，那些不重要的信息就能被滤除。这种“有损压缩”可以急剧减小文件的大小（这就是为什么JPEG和MP3文件要比原始的.bmp或.wav文件要小得多的原因）。
• 要是我们的信号是无线电波，我们可以通过滤波器来听确定的频段。在慕斯的世界里，想象每个人都注意着不同的成分：亚当在寻找苹果，鲍勃在寻找香蕉，查理想要花椰菜（兄弟，对不住了）。
  

傅立叶变换在工程领域运用广泛，但事实上，它是个寻找现象根源的象征。
多想想周期信号，而不是正弦曲线
我最大的困惑在于“正弦曲线”和“周期信号”的定义区分。

• “正弦曲线”意味上下运动模式（正弦或余弦函数），99%的场合里，都指的是发生在象限里的运动
• 周期信号是一种循环的，包含了两个d形物的图案。要你愿意用10块钱的话来描述10分钱的主意，你可以把一个周期的路径称作一个“完整正弦曲线”。
  

把一个周期的路径称作一个“完整正弦曲线”，就像你把一个谚语叫做“汉字的集合”。你选择了错误的细节级别。谚语包含了复杂的含义，而不是可以拆分的汉字！
傅立叶变换是关于周期（不是含有一个D形的正弦曲线）和欧拉公式的变换：

我们必须用虚数做周期运动么?当然不。即使那么做既方便又简洁。我们把信号分成实数和虚数的部分，但别忘了前提是：我们在做周期运动。
沿着周期路径
我们一边用电话聊天，一边在脑海里画圆（你答应了的！）。我该说什么呢?

• 这个圈儿该有多大呢?（幅度，半径范围的大小）
• 我们要画得多快?(频率。1周期/秒=1赫兹=2π弧度/秒)
• 从哪里开始呢?（相位角，0度对应x轴）
  

我可以说“2英寸，起始于45度，1圈儿每秒，开始吧！”。半秒之后，我们应该到达了同一点：起始位置+经过角度=45+180=225度（2英寸半径）。

每个圆周路径都需要设定大小、速度和起始角度（幅度/周期/相位）。我们还可以把它们合到一块：想象用不同速度绕圈儿跑的小摩托车。
所有周期的位置信息加到一起就是原本的信号，一如所有的成分混合就得到了原本的慕斯一样。
周期的时间顺序显示，开始于0Hz。周期[0 1]的含义是

• 0的意思是0Hz周期（0Hz=开始于x轴，0度相位的连续周期）
• 1的意思是1Hz周期（每个时间间隔完成一个周期）
  

现在是棘手的部分：

• 蓝色图像表示周期的实数部分。另一个可爱的数学问题：我们常用水平轴来表示每个周期的实轴，其数值在数值轴上显示。你也可以把坐标轴旋转90度。
• 时间点间隔按照最高频率设定。1Hz信号需要两个时间点来表示，分别记录起始和终止时刻（一个信号值是没有频率的。）。时间值[1 -1]对应着这些等间隔点的幅度。
  

然后呢?[0 1]是1Hz周期.
现在加入2Hz周期，并叠加。[0 1 1]意味着“0Hz值为零，1Hz时值为1，2Hz时值为1”。
哇塞。我们的小摩托车越跑越快了：绿线代表了1Hz和2Hz，蓝线是叠加后结果。点选绿色复选框可以让结果看起来更清晰。混合好的“味道”是一个倾斜的函数，从最大值开始，降到最低值。
黄点是我们测量信号的时刻。已经确定了3个周期信号（0Hz, 1Hz, 2Hz），每个点为信号值的1/3.在这个例子里，周期[0 1 1]生成了时间量[2 -1 -1],从最大值（2）开始，然后降到最低（-1）.
哦！刚才忘了考虑相位角了，现在我们要把它加上！加上数值：相位角。[0 1:45]是从45度开始的，1Hz的周期函数。
它是[0 1]的进阶版本。时域上，我们用[.7 -.7]替换[1 -1]。因为我们的周期函数并不是沿着我们的测量时方向上，它们是还在运动的点（这是可被设置的）。
通过改变周期信号的频率，强度和相位，傅立叶变换可以匹配任何时域信号。
信号所谓“时域观测”或是“频域成分”已成为一种抽象的概念。
说够了，就让我们把它讲明白吧！你可以选择模拟器里任何时间或类型的周期函数。如果它是时间表示的，你看到的许多构成所要周期函数的点（其集合被称为波）。

但是——难道在黄色的时间间隔里不包括任何特殊的点么?当然包括。但是我们怎么知道没有测量的时候，信号是按照直线，曲线还是折线穿入另一象限呢?它在我们所需的等间隔时刻出现在我们希望的位置。
创造一个脉冲信号
我们可以用周期函数制造出一个脉冲信号么，像是(4 0 0 0)?（用括号表示时间点）
尽管脉冲看起来很烦人（难道只是烦人?），还是要考虑周期函数的复杂性。我们的周期成分必须对齐（最大值为4），然后向外传播，每个周期函数都有其它函数可与其抵消。每个显示为0的点，都是因为多个周期函数在此获得平衡（你并不能关掉某个函数）。
让我们看看每个时间点：

• 在0时刻，每个周期函数都处于最大值，（4?）由4个周期函数(0Hz 1Hz 2Hz 3Hz)叠加而成，每个函数的幅值都是1，而相位角都为0(换言之, 1 + 1 + 1 + 1 = 4)。
• 在之后的时刻(t = 1, 2, 3)，所有周期函数的幅值必须相互抵消。
  

下面是数值为0的秘诀：当周期函数的值处于对称轴的两端（南和北，东和西，等等。），它们的和为0（要是3个周期函数均匀的分布在0，120和240度，它们就能相互抵消）。
想象许多绕圈旋转的点。先面试每个点在每个时刻的位置：
时刻 0 1 2 3
------------
0Hz:0 0 0 0
1Hz:0 1 2 3
2Hz:0 2 0 2
3Hz:0 3 2 1
要注意，3Hz的周期信号从0开始，然后到了3，然后到了6（只有4个位置，6Mod，然后是9（9Mod4=1）。
每个周期长度为4个单位，周期函数在2个单位时的位置既不在一条线上（不同于0, 4, 8…），也不再相反的位置（不同于2, 6, 10…）。
好了。让我们看看每个时间点的情况：

• 时刻 0：所有的周期函数都处于最大值（其和为4）
• 时刻 1：1Hz和3Hz函数值相互抵消（位置1和3是相反的值），0Hz和2Hz函数值相互抵消。最后结果为0.
• 时刻 2：在0时刻，1Hz和3Hz函数值相等，在2时刻，0Hz和2Hz函数值相等（相反的值）。相加结果还是0.
• 时刻 3：0Hz和2Hz函数值相互抵消.1Hz和3Hz函数值相互抵消.
• 时刻4（重复时刻0的情况）：所有函数值相等。
  

秘诀在于让相互独立的函数相互抵消(0Hz 和 2Hz, 1Hz 和 3Hz)，或是让同方向上数值和相互抵消（0Hz + 2Hz 和 1Hz + 3Hz）。
当每个周期属性相等，相位为0时，就可以对齐并消去后面的值。（我并不能很好的证明这一点——有人能吗?——但你可以自己看到其发生。试试[1 1], [1 1 1], [1 1 1 1]，你会注意到一个脉冲波峰：(2 0), (3 0 0), (4 0 0 0)).
这里直观的显示了怎么对齐，接下来是消去相反值：

改变峰值时间
t=0时，什么都没有发生。接下来换到(0 4 0 0)?
应该和(4 0 0 0)看起来差不多，但是周期函数必须在t=1时（当前时刻的1s后）对齐。然后要考虑相位。
想象有4个人参与的赛跑。赛跑开始时，4个人都在起跑线上，（4 0 0 0）。没意思。
怎么能让每个人都同时到达终点呢?很简单。只要让他们不停的你追我赶就行了。也许奶奶在终点线前两英尺，Usain Bolt离线还有100米，他们可以拉着手一起穿过终点线。
相位变化，起始角度就是周期信号世界里的延迟。接下来要说怎么调整起始位置，来者每个周期都延迟1秒：

• 0Hz周期函数不发生移动，所以它已经对齐了
• 1Hz函数在4秒完成一次往复，所有延时一秒意味着1/4轮。相位延迟90度（-90），然后它在t=1时刻到达相位0，其最大值。
• 2Hz函数的变化速度是1Hz函数的两倍，所以要两倍的角度来满足要求（-180或180，分别沿着不同的方向）。
• 3Hz函数的速度是1Hz函数的3倍，所以要有3倍的移动距离（-270或90度的相位改变）
  

如果时间点(4 0 0 0)是由函数[1 1 1 1]产生，那么（0 4 0 0）则是由[1 1:-90 1:180 1:90]产生。（ 注意： 此处用1Hz来表示一个周期运动经过的时间）。
天呐——我们在脑子里算出了周期函数！
干扰可视化是与之类似的，除了要在t=1时刻进行对齐。

试一下这个：你能想象出（0 0 4 0），即2秒延时时候的情况么?0Hz没有相位。1Hz是180度，2Hz是360度（也就是0度），3Hz是540度（即180度），结果为[1 1:180 1 1:180].
完整的傅立叶变换
事实上：我们的信号只不过是一大堆脉冲信号的叠加！只要得到每个时刻组分，你就能知道整个信号的成分。
傅立叶变换通过频率得到“配方”：

• 把连续的信号（a b c d）分成不同的时刻：(a 0 0 0) (0 b 0 0) (0 0 c 0) (0 0 0 d)
• 任意频率（例如2Hz），试验配方是“a/4 + b/4 + c/4 + d/4"（每个尖峰的强度被除以频率数目）
• 等等！还要对每个脉冲设置延时（每一秒延时的角度取决于频率）。
• 每个频率真正的配方=a/4 (无延时) + b/4 (1秒延时) + c/4 (2秒延时) + d/4 (3秒延时)。
  

遍历每个频率就能得到完整的变换结果。
这就是从“数学文字”到真正数学的过程：

几个要点：

• N=时间样本的数量
• n=当前运算的样本编号(0 .. N-1)
• xn=n时刻信号值
• k=当前频率（0Hz到N-1Hz）
• Xk=信号中频率k的值（幅度和相位，一个复数）
• 1/N被用于反变换（从时域信号转化为频域信号）。这是可以实现的，尽管我更喜欢用1/N进行正变换，它表示了脉冲信号的正真大小。你也在变换过程（正反变换中仍含有1/N）中使用1/sqrt(N)。
• n/N是我们经过的时间比例。2πk是单位为弧度/秒的速度，e^-ix是反向经过的路径。合起来就是以当前时间和速度经过的实际路程。
• 傅立叶变换的原始方程只告诉你“加上复数”。很多变成语言并不支持直接使用复数，因此要把它们转化成直角坐标系，然后相加。
  

让我们开始吧
这是我遇到的最有挑战性的课题。傅立叶变换涵盖了几个要点（离散/连续/有限长/无限长）的高深数学（狄拉克δ函数），很容易遗漏掉一些细节。这真的很挑战我的认知。
但仍有简单的类比来说明这些——我拒绝用别的方式思考。无论是慕斯还是Usain Bolt & Granny穿过终点线，都能让我们轻易的理解这一点。这个比喻是有缺陷的，但不算坏：它是一个木筏使用，一旦我们过河就把它们留下。
我意识到我自己的理解是如何薄弱，我没办法在自己的脑海里想出（1 0 0 0 ）的变换。对我来说，就像，我懂加法。但是，“1+1+1+1”到底等于几呢?为什么不呢?难道这些最简单的运算不该有个直观的展示么?

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