关于波特图的一个问题，请教各位大神

波特图的横坐标是频率w，而且是正的。得到系统传递函数H(jw)的前提是系统的输入为exp(jwt)。我的问题是，波特图只有正的w，那么对应系统的输入exp(jwt)的w也是正的，而exp(jwt)=cos(wt)+jsin(wt)，那么就是说波特图所指示的系统频率响应H(jw)实际上是对cos(wt)+jsin(wt)的响应，是这样吗?如果是的话，那么负的w为什么不考虑?exp(-jwt)=cos(wt)-jsin(wt)。表达可能不是太清晰，见谅。

现实中没有负频率

但是现实中也没有exp(jwt)这个信号。只有exp(jwt)+exp(-jwt)=2cos(wt)。

我是小编，有个概念我搞错了。H(jw)和输入没有关系，只是可以在时域通过输入exp(jwt)得到。但是为什么没有负的w还是想不明白。

直观理解的话，频率的正负号只是代表相位变化的正负，不是代表负的频率值。小编要弄懂的话应该追溯一下傅立叶变换（傅立叶级数）和拉普拉斯变换了，傅立叶级数的系数的复数形式和傅立叶积分变换时式中是exp(jwt)，这是数学运算的结果，傅立叶级数和原函数积分表达式里还是要乘以exp(-jwt)的。

频率响应中的“频率”严格来说不是指w，而是指jw。输出y(jwt)=H(jw) X exp(jwt)，也就是当频率为jw的指数信号输入时，系统的输出为H(jw) X exp(jwt)，这是我理解的傅里叶变换对于信号处理的根本意义所在，因为现实的信号都可以写成不同频率的指数信号的线性组合。比如cos(wt)可以写成cos(wt)=0.5exp(jwt)+0.5exp(-jwt)，也就是说现实的正弦信号是通过一个正的w作指数的指数信号和一个负的w作指数的指数信号乘以某个系数相加而成的。

为什么波特图上只考虑正的w?是因为频率响应确实只是看对exp(jwt)的响应，还是波特图分析已经隐含将jw和-jw合而为一了，是看正弦输入的响应，就像cos(wt)=0.5exp(jwt)+0.5exp(-jwt)。

是y(t)=H(jw) X exp(jwt)而不是y(jwt)=H(jw) X exp(jwt)，这已经又转换成原函数（时域）了，不是小编所述频率为jw的指数信号输入对应的输出。cos(wt)是一回事，还有sin(wt)呢，两者一并构成傅立叶级数的系数（含有exp(-jwt)的项），且在乘以exp(jwt)后消去了虚数j，又变成了原函数（含有wt而不是jwt的表达式）。傅立叶变换后的表达式更像是原函数的一个“系数（不含t）”，通过分析这个“系数”的特性从而得出原函数的特性。

exp(jwt) 不是信号， 只是一种数学工具， 帮助你把信号从时域转成频域
系统的波特图显示的是系统零状态冲击相应。通过波特图可以直观的观察系统对不同频率信号的相应。这是它的工程意义所在。当然你也可以画出负的 那部分， 但是现实中没有负频率， 所以没有必要研究负的那部分

小编是想问9楼我发的图片里为什么f(t)的积分表达式是从负无穷的w积分到正无穷的w么?这仅仅是用复数形式表达原函数的傅立叶展开式的结果，不是实际的信号。就像傅立叶变换式F(w)一样，现实中有负无穷的时间t么，显然没有，这就是一种数学的方法而已，我们只是研究变换后的表达式的性质，不是研究变换过程，那是数学研究的问题。另外，我觉得不存在“在时域通过输入exp(jwt)”的概念，傅立叶变换不是“在时域通过输入exp(jwt)”而得到的。

还有就是，波特图的横坐标是对数坐标，如果w=0.1的话lgw=-1，w=0.01的话lgw=-2，是不是就是你所说的负数?负数的lgw还是正的w值，都是变换惹的祸而已。

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回复 11# sea11038


非常感谢sea11038的回复。似乎理解了，整理一下我的思路供大家参考。

1、我们在频域（s域）分析系统和信号的前提是系统的单位冲激响应h(t)和信号x(t)能够分解为不同s的指数形式exp(st)的加权和，由于现实中我们关心的系统和信号大多都能做到，所以频域分析才是有意义的。在数学上来说就是h(t)和x(t)存在拉普拉斯变换H(s)和X(s)。从另一个角度说，“频率”是对指数信号而言才有意义的，s是exp(st)的频率。

2、研究H(s)时，我们说是研究系统的频率响应，那么是对什么信号的频率响应?不可能脱离信号而谈响应吧。既然频率只对指数信号有意义，那么研究频率响应必然是想研究对指数信号的响应，即输入exp(st)时，响应为H(s) X exp(st)。现实中的输入x(t)是exp(st)的加权和，响应y(t)是H(s) X exp(st)的加权和。

3、s=σ+jω，那么exp(st)=exp(σ+jω)=exp(σ) X (cos(ωt)+jsin(ωt))，σ是实数，所以σ不论为何值，exp(σ)肯定是现实存在的。ω也是实数，但是不论ω为何值（除了零），即使为正值，cos(ωt)+jsin(ωt)也是现实不存在的。前面说了现实中的信号大多都可以分解为指数信号之和，很显然，一个exp(st)乘以某个系数是不能实现的，至少得有两个，例如x(t)=a X exp(s1 X t) + b X exp(s2 X t)，以上s1=σ+jω1, s2=σ+jω2。为了保证x(t)是实信号，据我所知，只有满足ω1=-ω2，且a和b共轭（或均为实数，满足a=b）时才行。所以，现实的信号必须至少由一个正的ω和一个负的ω做指数的指数信号加权和组成。如果确实是这样的话，ω只取正值是无法组合出现实信号的，那么研究H(s)还有什么意义?所以我认为s中的ω和我们现实中的信号频率不是一个意义，s中的ω只有数学意义。

4、如果波特图上的ω是指现实中的频率，那么我还是认为，波特图是为了考察系统对正（余）弦信号（σ=0）的响应，隐含了数学意义中两个ω（一正一负），因为正弦信号可以用如前所示的两个指数信号的加权和来表示。

还请各位大神继续指正，谢谢。