单片机浮点数的实用快速除法介绍

作为单片机程序员来说，在编写程序时经常要检验程序中的浮点数运算结果是否正确，但手中又没有合适的检验工具，非常麻烦。而一般单片机是没有浮点数运算指令的，必须自行编制相应软件。在进行除法计算时，通常使用的方法是比较除法，即利用循环移位和减法操作来得到24～32位商，效率很低。这里给出一种浮点数除法运算的实用快速算法。该方法以数值计算中的预估-修正方法为指导，充分利用了16位单片机的乘除法功能，很轻易地实现了浮点数的除法。

　　1 浮点数格式

　　IEEE的浮点数标准规定了单精度（4字节）、双精度（8字节）和扩展精度（10字节）三种浮点数的格式。最常用的是单精度浮点数，格式如图1所示。但是这种格式的阶码不在同一个字节单元内，不易寻址，从而会影响运算速度。

　　通常在单片机上采用的是一种变形格式的浮点数，如图2所示。其中的23位尾数加上隐含的最高位1，构成一个定点原码小数，即尾数为小于1大于等于0.5的小数。

　　2 快速除法的算法原理

　　在16位单片机中只有16位的乘除法，而浮点数的精度（即尾数的有效位数）达24位，因此无法直接相除，但依然可以利用16位的乘除法指令来实现24位除法。不过，如果只进行一次16位的除法必定会带来很大误差，因此问题的关键在于如何消除这个误差，从而达到要求的精度。这其实就是通常数值计算中所采用的预估-修正方法。

　　假设两个浮点数经过预处理后，被除数和除数尾数扩展为32位（末8位为0）分别放入X和Y中。邻YL为Y的低16位，并记YH=Y-YL。显然YH≈Y，X/Y与Y/YH相差不多：

　　可见只需要在X/YH的基础上再乘以一个修正因子（YH-YL）/YH，就可以得到X/Y的一次校准值。不难证明这个值已经达到了24位的精度要求。事实上，相对误差满足：

　　这说明这个一次校准值完全可以作为最终的结果。

　　3 算法的具体实现

　　在具体实现本算法时，主要经过下列步骤：

　　这里的YH虽仍是32位，但其低16位已为0，计算时可以将它视为16位数，这不会影响计算精度。通过两次16位除法，就可得到精确的32位结果。例如，计算Q0时，第一次除法，X除以YH的高16位，得到的商为Q0的高16位，而16位余数末尾添0成32位，再除以YH的高16位，得到Q0的低16位（余数舍去）。由此得到了32位的Q0。

　　在具体运算中，X应选除以4（X左移2位），以保证Q0不会溢出（YH取高16位）：

　　由于X为32位（末8位为0），这一操作不影响有效数字。而，不存在溢出的问题。最后计算校准值Q时，有。

　　在计算Q0'、Q1时，均进行了两次16位除法，使得Q0'、Q1均为精确的32位，保证了计算过程中的精度，减小了累积误差。对于YL=0即除数只有16位有效数字的特殊情况，直接有Q1=1，还能省去两次16位除法。