图像处理中的数学原理详解11——线性空间

2.3 泛函与抽象空间

牛顿说：“把简单的问题看得复杂，可以发现新领域;把复杂的问题看得简单，可以发现新规律。”而从历史的角度来看，一个学科的发展也亦是如此。随着学科的发展，最开始的一个主干方向会不断衍生出各自相对独立的分支，这也就是所谓“把简单的问题看得复杂”的过程。然而，一旦学科发展到一定程度之后，某些分支学科又开始被抽象综合起来，这也就是所谓“把复杂的问题看得简单”的过程。例如，在很长一段时间里，物理学家们都把电和磁看成是两种独立的物理现象在研究，当学科研究积累到一定程度时，麦克斯韦就创立了电磁学从而完成了物理学中的一次大综合。而在数学发展的历史中，几何与代数也曾经在很长的一段时间里是彼此独立的。直到笛卡尔引入了直角坐标系的概念之后，人们才开始建立了一种代数与几何之间的联系，也就是所谓的解析几何。泛函分析也是对以往许多数学问题或者领域进行高度抽象和综合的结果，其主要研究对象之一是抽象空间。其实在学习线性代数的过程中，读者已经建立了一种从矩阵到线性方程组之间的一种联系。而在泛函分析中，实数系、矩阵、多项式以及函数族这些看似关联不大的概念都可以抽成空间。由于泛函分析是一门比较晦涩抽象的学问，读者应该注意联系以往学习中比较熟悉的一些已知的、具体的概念，从而帮助自己理解那些全新的、抽象的概念。此外，需要说明的是本部分内容的重点在于有关定义或者概念的介绍，希望读者能够努力领会这些定义或者概念。

2.3.1 线性空间