详解：开关电源的小信号建模

开关电源的反馈环路设计是开关电源设计的一个非常重要的部分，它关系到一个电源性能的好坏。要设计一个好的环路，必须要知道主回路的数学模型，然后根据主回路的数学模型，设计反馈补偿环路。本文想重点介绍下主回路的数学建模方法。 （电源网原创转载请注明出处）

首先来介绍下小信号的分析法。开关电源是一个非线性系统，但可以对其静态工作点附近进行局部线性化。这种方法称为小信号分析法。

以一个CCM模式的BOOST电路为例，

其增益为：

其增益曲线为：

其中M和D之间的关系是非线性的。但在其静态工作点M附近很小的一个区域范围内，占空比的很小的扰动和增益变化量之间的关系是线性的。因此在这个很小的区域范围内，我们可以用线性分析的方法来对系统进行分析。这就是小信号分析的基本思路。

因此要对一个电源进行小信号建模，其步骤也很简单，第一步就是求出其静态工作点，第二步就是叠加扰动，第三步就是分离扰动，进行线性化，第四步就是拉氏变换，得到其频域特性方程，也就是我们说的传递函数。

要对一个变换器进行小信号建模，必须满足三个条件。

首先要保证得到的工作点是“静”态的。因此有两个假设条件：

1，一个开关周期内，不含有低频扰动。因此叠加的交流扰动小信号的频率应该远远小于开关频率。这个假设称为低频假设

2，电路中的状态变量不含有高频开关纹波分量。也就是系统的转折频率要远远小于开关频率。这个假设称为小纹波假设。

其次为了保证这个扰动是在静态工作点附近，因此有第三个假设条件：

3，交流小信号的幅值必须远远小于直流分量的幅值。这个称为小信号假设。

对于PWM模式下的开关电源，通常都能满足以上三个假设条件，因此可以使用小信号分析法进行建模。

对于谐振变换器来说，由于谐振变换器含有一个谐振槽路。在一个开关时区或多个开关时区内，谐振槽路中各电量为正弦量，或者其有效成分是正弦量。正弦量的幅值是在大范围变化的，因此在研究PWM型变换器所使用的“小纹波假设”在谐振槽路的小信号建模中不再适用。

对于谐振变换器，通常采用数据采样法或者扩展描述函数法进行建模。

以一个CCM模式下的BUCK电路为例，应用上面的四个步骤，来建立一个小信号模型。

对于一个BUCK电路

当开关管开通时，也就是在(0-DTs)区间

其状态方程为

当开关管S断开时，二极管D导通，忽略二极管D的压降，可得到等效电路

其状态方程为：

将状态变量在一个开关周期内求平均，

简化后得到：

这便是一个开关周期内的状态方程，基于上面的低频和小纹波假设，变换器在一个开关周期内是稳定的，因此这也是其静态工作点的方程。

对上面的稳态方程叠加扰动，可以得到以下方程：

进行分解后为：

将稳态方程代入分解后的扰动方程，便可将扰动方程进行分离：

基于上面的第三个假设，即小信号假设，因此可以忽略掉

因此可以得到CCM模式下BUCK的小信号方程：

对于一个开关电源，我们的控制目标是输出电压，控制变量是占空比D。因此，我们可以忽略掉输入电压扰动，得到占空比扰动所对应的输出电压的扰动方程。

对上面的方程进行拉氏变换，得到其频域方程：

将两个方程进行整合，可以得到占空比的扰动与输出电压扰动之间的关系：

化简后就可以得到：

从上面的方程已经很清晰的看到输出电压扰动与占空比扰动之间的关系，将其移项便可以得到CCM BUCK的传递函数：