电容器的电容

通常所用的电容器由两个金属极板和介于其间的电介质所组成。电容器带电时常使两极板带上等量异种的电荷(或使一板带电，另一板接地，借感应起电而带上 等量异种电荷)。电容器的电容定义为电容器一个极板所带电荷 (指它的绝对值)和两极板的电势差 (不是某一极板的电势)之比： (5a)
下面将根据定义式(5a)来计算几种常用电容器的电容。



设有两平行的金属极板，每板的面积为 ，两板的内表面之间相距为d，并使板面的线度远大于两板的内表面的 间距(右下图)。令板A带正电，板B带等量的负电。由于板面线度远大于两板的间距，所以除边 缘部分以外，两板间的电场可以认为是均匀的，而且电场局限于两板之间。现在先不考虑介质的影响即认为两板间为真空或充满空气。根据上一章所导出的平行的无 限大均匀带电平面的电场强度公式，两极板间均匀电场的场强大小为





式中 为任一极板上所带电荷的面电荷密度(绝对值)。由例题 04-10-17的结果可知，两极板间的电势差 为 式中 为任一极板表面上所带的电荷大小。设两极板间为真空时的平行板电 容器电容为 ，则由电容器电容的定义，得

(5b)

由上式可知，只要使两极板的间距d足够微小，并加大两极板的面积 ，就可获得较大的电容。

仿照式(5b)的导出过程，可以求得平行板电容器在两极板间充满均匀电介质时的电容为

(5c)

式中， 为该电介质的电容率，将式(5c)与式(5b)相比，得：

　(5d)

即为该电介质的相对电容率。除空气的 近似等于1以外，一般电介质的 均大于1。故从上式可知，在充入均匀电介质后，平行板电容器的电容 将增大为真空情况下的 倍。并且对任何电容器来说，当其间充满相对电容率为 的均匀电介质后，它的电容亦总是增至 倍(证明从略)。

有的材料(如钛酸钡)，它的 可达数千，用来作为电容器的电介质，就能制成电容大、体积小的电容 器。



从式(5c)可知，当 、d和 三者中任一个量发生变化时，都会引起电容 的变化。根据这一原理所制成的电容式传感器，可用来测量诸如位移、液面高 度、压强和流量等非电学量。例如，右图所示的电容测厚仪，可用来测量塑料带子等的厚度。



球形电容器是由半径分别为 和 的两个同心球壳组成的，两球壳中间充满电容率为 的电介质(左图)。 使内球壳带电荷 ，这电荷将均匀地分布在它的外表面上。同时，在外球壳的内、外两表 面上的感应电荷 和              也都是



均匀分布的。外球壳的外表面上的正电荷可用接地法消除掉。两球壳之间的 电场具有球对称性，可用有介质时的高斯定理求出这电场，它和单独由内球激发的电场相同，即 式中， 为球心与场点 的距离。

因为 ；取 沿半径方向，则 ，故

所以：

(5e)

如果两球面间的距离d很小， 和 都很大，则 ， ，得 。以球面的面积 代入，从而， ，此即为平行板电容器电容的公式。

若 ＞＞ ，则在公式(5e)的分母中可略去 ，便有：

(5f)

这就是半径为 的孤立导体球在电介质中的电容。