极点 零点 之我见

刚来，不知道发帖子能不能换点信元，随便说几句，不一定对。
讨论 线性 时不变 的系统，
我讨论这个问题的意义在于，
1 从另外的角度认识 极点零点，而不是局限于RC乘积，-3dB带宽，45度相移，或者前馈产生零点，诸如此类
2 了解一点状态空间的知识对于这种认识会有些帮助，这部分内容一般在 信号与系统 类教材的 最后几章，会涉及到一些矩阵运算。
3 希望小编加精，赚点儿信元，下载文献
言归正传
极点
极点是什么? 本质上它是微分方程的特征根，是微分方程组对应的伴随矩阵（也称作友矩阵 Companion Matrix）的 特征值。
数学上：常系数线性微分方程 -> 特征多项式 -> Companion Matrix -> 特征多项式的根 就是 Companion Matrix 的特征值 ，也是系统的极点。 这些点的位置 决定着系统的最根本的特性。
插一句题外话，高次多项式的求根，一般都是通过求其Companion Matrix 的特征值来完成的。
思路：电路-> 微分方程->特征根 -> 系统极点
电路-> 状态变量空间 -> 微分方程组 -> 矩阵特征值 -> 系统极点
电路-> 器件拉氏变换模型 -> 传递函数 -> 使得函数趋于inf的那些根 -> 系统极点
拉氏变换，其实是通过积分变换，跳过了微分方程的建立和求解，这种方法某种程度上不利于极点的理解。
下面只描述一下 前两个思路，
每一个线性时不变系统，都会对应一个微分方程（组）。简单起见，以二阶系统为例，f为输入，y为输出，f 和 x 都是t的函数
“齐次”是指方程中每一项关于未知函数x及其导数y',y'',……的次数都是相等的
y''+by'+cy=gf''+hf'+pf
极点只于其齐次方程有关，齐次方程为
y''+by'+cy=0
对应的微分方程组为，令y=x2，y'=x1
x1'=x2
x2'=-cx1-bx2
矩阵形式
x'=Ax
x=[x1 x2]';
A=[01;-c-b];此矩阵采用matlab的输入格式。
对于RLC的电路系统，通过状态变量的定义，可以得到这样的方程。对于高阶系统，同样可以得到类似的形式。
定义一个矩阵P，和新变量v，有如下关系存在x=Pv
那么可以得到 (Pv)'=A (Pv)-> v'=inv(P)APv。
如果inv(P)AP 刚好是一个对角阵，那么v可以直接求解，于是x也可以求解了。
注：在数学上，如果利用指数矩阵，可以有更加简洁有效的计算方法，但原理是一致的。
系统的极点，就是对角阵inv(P)AP的元素，也就是 A的特征值。而P的每一列，对应A的特征向量。
矩阵的特征向量是什么，当一个矩阵左乘一个列向量后，其得到的新向量如果方向不变，那么这个向量就特征向量，这是在万千向量中挑选出来的。
举个例子，如果照镜子是一个线性变换，那么与镜面垂直 和 与镜面平行的 向量 ，都是特征向量，与镜面垂直的特征向量 特征值是-1，与镜面平行的特征向量 特征值是+1。
说到这里，再插一句，
信号与系统中， 当激励是幅度为1的复指数信号exp(jwt)时，它的输出是什么?当然也是负指数信号
y(t)=H(jw)*exp(jwt)
这个表达式很漂亮，既有时域也有频域，一个表达式连接了时域和频域。
从另一个角度来看，把系统看做一个线性操作T，那么有如下的表述
T(exp(jwt)) = H(jw)*exp(jwt)
类比 T(x)=lamda*x
exp(jwt)也可以理解为一种广义的特征向量，角频率w就是其方向特征，频率变化，方向就变化。那么特征值是啥?H(jw)就是特征值。可以说线性系统中
传递函数是特征值的集合，
exp(jwt)是特征向量向量的集合。
好的，转回到极点的概念，没啥好说的了，其数学本质是微分方程的特征根，是微分方程组对应的伴随矩阵（也称作友矩阵 Companion Matrix）的 特征值。 从物理上看，可以近似的认为是某个节点电阻电容的乘积，很多情况下这种认识只是一种直观的近似的理解。
再说零点
零点
从系统函数，或微分方程组的角度来看，零点无非是多个输入时的一种自然的结果。
零点可以理解为是使传输函数等于0的点，是分子的根。
从数学上说，当微分方程等号右边存在激励函数的导数时，一般会有零点。
y''+by'+cy=gf''+hf'+pf
积分是什么?是一种记忆，记忆在一定程度上就意味着相位的滞后。
如地球上最热的时候不在夏至，而在夏至后一个月左右，这类似于一个电容的充电过程。
导数是什么?是一种预判，预判实际上就意味着相位的超前。如pll的阶跃响应，都存在一个过冲，无论开环PM多大。
存在零点的系统，即使它的极点都在左半平面的实轴上，它的阶跃响应仍然可能存在过冲，为什么?预判过头了呗。
我对零点的分类通常是分为三种
1 jw轴上的零点
2 实轴上的零点
3 非轴上的零点（不讨论）
第一种
jw轴上的零点，是真实的"零点"，具有陷波的作用。
如
---||----与 ----ssss----并联时
导纳为 (sC+1/sL) = (LCs^2+1)/sL。在1/sqrt(LC)的频率上，其导纳为零，相当于导线断路，信号无法通过。
这种并联，某种程度上可以理解为两路信号相加。
第二种
左侧实轴上的零点，其实是伪零点
---||----与 ----xxxx----并联时
导纳为 (sC+g) 。在复的频率-g/C上，其导纳为零。可以认为如果输入信号是exp(-t*g/C)，那么这个信号是无法通过的。
这种并联，某种程度上也可以理解为两路信号相加，只是对于cos(wt)和sin(wt)这样的信号，永远都不会叠加为0。
通常右侧实轴的零点是 有源电路产生的。
零点的意义通常体现在反馈系统中，用于相位补偿。
关于相位补偿，不再赘述。

厉害。LZ讲的好复杂。不仅仅是零极点了。看起来比较吃力。基础不好。

太数学了，可不可以物理一点；
太时域了，可不可以频域一点?

红色文字，满足你的要求。
请再看看我的文字，极端物理和极端频域的解释满大街都是，我没必要重新描述了
我说了
1 从另外的角度认识
极点零点，而不是局限于RC乘积，-3dB带宽，45度相移，或者前馈产生零点，诸如此类
2 了解一点状态空间的知识对于这种认识会有些帮助，这部分内容一般在
信号与系统
类教材的
最后几章，会涉及到一些矩阵运算。
看看下面的文字，难道不能满足你的要求么?
这还要多频域呢?多么漂亮的表达式，线性系统对负指数信号的响应，有时域有频域，同时也可以从特征值和特征向量的角度理解。
y(t)=H(jw)*exp(jwt)

这还要多物理呢?多么直观的解释
积分是什么?是一种对过往的记忆，记忆在一定程度上就意味着相位的滞后。
如地球上最热的时候不在夏至，而在夏至后一个月左右，这类似于一个电容的充电过程。
导数是什么?是一种对未来的预判，预判实际上就意味着相位的超前。如pll的阶跃响应，都存在一个过冲，无论开环PM多大。
存在零点的系统，即使它的极点都在左半平面的实轴上，它的阶跃响应仍然可能存在过冲，为什么?预判过头了呗。

其实要认识到，通常这里的人说零点 极点 都是默认s 域，
s域 产生极点 无源器件 通常RC比较好理解，但是当RLC都出现时，复极点对出现时，如果只有一对复极点，还可以通过引入一个Q值的概念（无论是C的Q还是L的Q）勉强解释一下，高阶情况怎么办?你如何从物理的角度理解?
你说太时域了，好，那么传输函数的分母怎么来的? 还不就是微分方程的特征多项式，根儿在 微分方程呢。

如果在推广一下，到z域，你怎么理解 单位圆内 单位圆上的极点? 还去找电阻电容电感么?
为什么不去看看H(z)的分母到底怎么来的? 还不是要去看差分方程的特征多项式。
我觉得要横向联系，比较，分析，思考。
如果我也说一些 45度相移，3dB带宽，10倍频20dB滚降，前馈产生一个零点，那我还不如不发呢，因为教科书上说的比我说的清楚多了。

签到可以得信元的。

一次签到40信元

太理论了，读了半天，一点有用的信息都没有，，

如果我也说一些 RC乘积，45度相移，3dB带宽，10倍频20dB滚降，前馈产生一个零点，这样就有信息量了，呵呵。
换个角度看问题，就像让一个常年不运动的人做一些瑜伽动作一样，一定会不适应的。
换个角度看问题，哪怕结论是错误的，也没关系，至少说明一直都在思考。这些东西不要急着要结论性的东西，思考和寻求深层次的内在联系也很重要。
物理是直观的，数学能在更高层次的抽象总结和概括。因此简单的东西，一阶二阶，可以从物理的角度解释，复杂的高阶的，需要借助数学去解释，然后再回到物理中去看。他们是相辅相成的。
当你要做一个独特的高阶滤波器，当你要分析一个数模混合系统，当你看到无论pll开环PM多大，其闭环的阶跃响应都有过冲时，你会发现有些认识和理解有时还是有用的。

好帖子，学习

真要写，就写成pdf形式的。最好在加一些应用，和示意图（一图胜千言）；现在写的这些难道教科书上面没有?哪一些是你的idea。
还有小编的语言风格太文学了吧，显得你的文章不严谨

nice analysis ！但我觉得还是稍显太数学了一点。

这是我看了 线性代数 一部分矩阵分析 信号与系统 自动控制 滤波器设计 常微分方程 这些书，整理出来的，没有哪一个概念是我的idea，但是都放到一起做比较，分析，这就是我的ideal.
有哪本书会告诉你 照镜子 是一种线性变换么?会告诉你这个变换的特征值和特征向量么?有哪本书会说微分是一种预估么?会把响应的过冲和微分（零点）联系起来? 有哪本书会说，如果把一个线性系统看做一个线性变换，那么传递函数是特征值的集合，exp(jwt)是特征向量向量的集合。有哪本书会告诉你矩阵特征根的含义么?这些概念都不是我的idea，但是如何去看待他们是我的idea。
比如下面这段，请你在一本，或几本教课书上找到类似的描述
矩阵的特征向量是什么，当一个矩阵左乘一个列向量后，其得到的新向量如果方向不变，那么这个向量就特征向量，这是在万千向量中挑选出来的。
举个例子，如果照镜子是一个线性变换，那么与镜面垂直 和 与镜面平行的 向量 ，都是特征向量，与镜面垂直的特征向量 特征值是-1，与镜面平行的特征向量 特征值是+1。
说到这里，再插一句，
信号与系统中， 当激励是幅度为1的复指数信号exp(jwt)时，它的输出是什么?当然也是负指数信号
y(t)=H(jw)*exp(jwt)
这个表达式很漂亮，既有时域也有频域，一个表达式连接了时域和频域。
从另一个角度来看，把系统看做一个线性操作T，那么有如下的表述
T(exp(jwt)) = H(jw)*exp(jwt)
类比 T(x)=lamda*x
exp(jwt)也可以理解为一种广义的特征向量，角频率w就是其方向特征，频率变化，方向就变化。那么特征值是啥?H(jw)就是特征值。可以说线性系统中
传递函数是特征值的集合，
exp(jwt)是特征向量向量的集合。

你去亚马逊看下国外的大学用的信号与系统 数字信号处理的书 好吗?看下它们是怎么引入拉普拉丝变换和z变换的。卷级什么的。

你写的这些东西需要更为严谨的证明或者给出参考文献，否则自己就开始下结论，容易误人子弟。我以前就喜欢感这些，后来发现自己很多想法不一定正确。既然是搞工科的严谨之后再直观才好。还有什么一个向量照镜子什么的，我不觉得这样的叙述是好的

你认为很美的那个表达式 为什么就不把sigma加进去呢。本来实际也不存在ejwt这个信号，e sigma 加jwt这个才是更一般的基础信号吧

我想你写这些，没几个人能看得懂吧，搞工程的，最高的境界应该是根据自己理解的，总结成直观的结论性的东西，简单易懂。最好能举简单的例子来说明一些问题，比如RC串联时，在某一个频率处（如零点w=1/RC时），其阻抗等于多少，会在系统中发生什么效应。

我没看过那么多国外的书，信号方面只看了奥本海姆的两本书、Ogata的Modern Control Engeneering的一小部分、Theory and Application of the z transform method（E.I.JURY著）的一小部分。
如果你了解了 laplace 变换 出现在 傅里叶 变换之前，如果你了解了z变换的前身，你会有新的认识。
Laplace提出 laplace变换时，还没有傅里叶变换。 傅里叶提出 傅里叶变换时，laplace作为其审核导师之一，是极力反对这种数学形式的，主要原因是不严格，因此直到Laplace去世后，傅里叶才正式发表他的理论，而直到柯西提出严格的极限证明，傅里叶理论才完整。据说当 傅里叶看到柯西的分析理论后，诚惶诚恐，仔细把自己的理论又看了一遍，发现幸好都符合柯西提出的那些条件，心里才踏实。
z变换其实也是Laplace提出来的，最早叫做母函数或生成函数（generation function），用于概率分析和组合数学。直到上个世纪才用于信号处理，在信号处理里，改头换面叫z变换了。在我看来，z变换某种程度上 更像 是taylor级数或罗伦级数的 逆运算。寻找系数为 1 1 1 。的幂函数和，自然就是1/(1+x)|x|<1
从积分变换的发展来看，Laplace 变换 z变换都先于 傅里叶变换。而在信号处理的教材中，讲解的顺序则是相反的，并建立了一套 傅里叶 laplace Z变换的关系，这套关系给人感觉 流畅而漂亮，但这其实只是从信号的角度去理解的。 当跳出信号分析这个领域，还可以从更广泛的角度理解。

谁说不存在 exp(jwt)这个信号，复信号 exp(jwt) = cos(wt) + jsin(wt)， 可以看做一对信号 <cos(wt) , sin(wt)>，这个信号复合复数加法乘法的法则。
Kenn Martin，发表过 Complex signal is not Complex，设计复信号处理的。
简单的说，低中频接收机的设计应用中，你会看到复信号，它是一个信号对，是真实存在的，符合复数的加法乘法法则。
虚部 在英文中 是 imaginary part，直接翻译就是 想象出来的部分，对于复信号来说，我觉的只有j才是想象出来的，配合运算的，剩下的都是真实存在的。

好了，信元够了，谢谢大家，谢谢小编！

个人建议你 加图 加公式 加严谨叙述 而不是想当然的下结论。如果你要的是一篇精华帖的话。按我的标准 这篇不够精华。 现在精华帖这么给了么 随便写一点感悟就加精华呢

给参考文献 别在这想当然

能写出这些，很不错的，给你点个赞

这个必须顶呀

我没有想当然，你还可以参考关于double quadrature的一些文献，看看复信号处理，复数滤波器等等。
实信号是一个单独的信号，复信号是一对实信号，这对实信号其实是要满足一定关系的，其中一个是另外一个的Hilbert变换。这样的一组信号在信号处理中叫做 解析信号。
。虚数单位j的作用只是用于 复数加法 和 乘法。
复信号处理请参考 国外文献，这是我多年前读的一篇文献
Complex signal processing is not complexhttp://wenku.baidu.com/link?url=rdto2hL8oxuIuVy4Ez91D5iseiFZvZZPDjSPulCiCFakFM_VJuhZxoyHl2eJ7x28riYvTcYjW3vbgyI5qBxeTO-fj6SIiuhaPitiOlJVAX3
Hilbert变换 和 解析信号，请参考（这是我随便找的一个课件，可以提供一些概念性的东西）
http://wenku.baidu.com/link?url=QntdncxSorYXgXv2HeUeAqz5P3awxtHqZYhkmlBwxdMJujA3c15NcyTKLTHmvzXyhJJQS60nMgj_z5xLiO1iZUe1CavVgQmnOSkx73SZUSK
关于解析信号，我再说一句，实因果信号的傅里叶变换是一个复变函数，可以分解为实部与虚部，实部与虚部刚好满足Hilbert变换的约束关系。
这是众所周知的，我也无需再贴什么文献了。
我的帖子好像已经被小编加精了，谢谢！

确实不好懂，但是这确实是得到直观结果的很好的分析手段。

[fly]顶一下[/fly]

你贴的参考文献还不错；
Virtuoso中的rflib里的baseband model（LNA Mixer，等）就是用这种方式建模，省去carrier，加快仿真速度；
但我觉得这还是一种数学的方式，复信号这种东西，是为了处理问题方便，人们做的数学处理。

你贴的参考文献不错。
candence 里的 rflib中的baseband model 就是这样建立的，省去了carrier，加快射频系统仿真速度。
但是，这样把两个时域信号，说成是一个时域复数信号。
我个人感觉还是为了在数学上处理方便，而非时域上真的有ejwt。

呵呵，你以前这样可以，人家现在这样不行。